Середнє степеневе зважене — різновид середнього значення. Для набору додатних дійсних чисел з параметром і невід'ємними вагами визначається як
.
Якщо ваги нормовані до одиниці (тобто їх сума дорівнює одиниці), то вираз для середнього степеневого зваженого набуває вигляду
.
Властивості У тому випадку, коли всі ваги рівні між собою, середнє степеневе зважене дорівнює середньому степеневому. Середнє арифметичне зважене і середнє гармонійне зважене є окремими випадками середнього степеневого зваженого при відповідно і . У границі при середнє степеневе зважене збігається до середнього геометричного зваженого.
Зв'язок з ентропією Реньї Інформаційну ентропію деякої системи можна визначити як логарифм числа доступних станів системи (або їх ефективної кількості, якщо стани не рівноймовірні). Врахуємо, що ймовірності перебування системи в стані з номером () нормовані до . Якщо стани системи рівноймовірні і мають імовірність , то . У разі різних імовірностей станів визначимо ефективну кількість станів як середнє степеневе зважене величин з вагами і параметром (де ):
.
Звідси отримуємо вираз для ентропії
,
збігається з виразом для ентропії Реньї. Легко бачити, що в границі при (або ) ентропія Реньї збігається до ентропії Шеннона (при тому, що середнє степеневе зважене — до середнього геометричного зваженого). За визначенням ентропії Реньї має виконуватися додаткове обмеження (або ).
Примітки
Література