У математичному аналізі лема Брезіса — Ліба є основним результатом в теорії міри. Вона названа на честь та Елліота Ліба, які довели її в 1983 році. Лему можна розглядати за певних умов як покращення леми Фату до рівності. Вона була корисна при дослідженні багатьох варіаційних проблем.
Лема та її доведення
Твердження леми Нехай — простір із мірою, а — послідовність вимірних комплекснозначних функцій на , які майже скрізь збігаються до функції . Гранична функція — вимірна автоматично. Лема Брезіса — Ліба стверджує, що якщо — додатне число, то
за умови, що послідовність є рівномірно обмеженою у просторі . Суттєвим наслідком, який посилює лему Фату у застосуванні до послідовності , є рівність
що випливає з нерівності трикутника. Цей наслідок часто приймають як твердження леми, хоча він не має більш прямого доведення.
Доведення Доведення базується на нерівностях
Наслідком є те, що , яке майже скрізь збігається до нуля, обмежується зверху інтегровною функцією, незалежно від . Спостерігаємо, що
а застосування теореми Лебега про мажоровану збіжність до першого члена з правої частини показує, що
Обмеженість супремуму в правій частині при довільному показує, що ліва частина повинна бути нульовою.
Див. також
Теорія міри Простір із мірою Лема Фату Теорема Лебега про мажоровану збіжність Варіаційне числення
Примітки
Джерела