Ста́ла Апері́ (, ) — дійсне число, що позначається (іноді ), яке дорівнює сумі обернених до кубів цілих додатних чисел і, отже, є частковим значенням дзета-функції Рімана:
.
Чисельне значення сталої виражається нескінченним неперіодичним десятковим дробом :
1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…
Названа на честь Роже Апері, який довів 1978 року, що є ірраціональним числом ( ). Початкове доведення мало складний технічний характер, пізніше знайдено простий варіант доведення з використанням многочленів Лежандра. Невідомо, чи є стала Апері трансцендентним числом.
Ця стала давно приваблювала математиків — ще 1735 році Леонард Ейлер обчислив її з точністю до 16 значущих цифр (+1,202056903159594).
Застосування в математиці і фізиці
У математиці стала Апері зустрічається у багатьох застосуваннях. Зокрема, величина, обернена до , дає ймовірність того, що будь-які три випадковим чином вибраних додатних цілих числа будуть взаємно простими — в тому сенсі, що при ймовірність того, що три додатних цілих числа, менших, ніж (і вибраних випадковим чином) будуть взаємно простими, прямує до .
Стала Апері природним чином виникає в низці задач фізики, зокрема в поправках другого (і вище) порядків до аномального магнітного моменту електрона в квантовій електродинаміці. Наприклад, результат для двопетльової діаграми Фейнмана, зображеної на малюнку, дає (тут мається на увазі 4-вимірне інтегрування за імпульсами внутрішніх петель, що містять тільки безмасові віртуальні частинки, а також відповідне нормування, включно зі степенем імпульсу зовнішньої частки ). Інший приклад — двовимірна модель Дебая.
Зв'язок з іншими функціями Стала Апері пов'язана з частковим значенням полігамма-функції другого порядку:
і з'являється в розкладі гамма-функції в ряд Тейлора:
,
де у вигляді факторизуються внески, що містять сталу Ейлера — Маскероні .
Стала Апері також пов'язана зі значеннями трилогарифма (частковий випадок полілогарифма ):
, .
Подання у вигляді рядів Деякі інші ряди, члени яких обернені кубів натуральних чисел, також виражаються через сталу Апері:
,
.
Інші відомі результати — сума ряду, що містить гармонічні числа :
,
а також подвійна сума:
.
Для доведення ірраціональності Роже Апері користувався поданням:
,
де — біноміальний коефіцієнт.
1773 року Леонард Ейлер навів подання у вигляді ряду (яке згодом було кілька разів заново відкрито в інших роботах):
,
у якому значення дзета-функції Рімана парних аргументів можна подати як , де — числа Бернуллі.
Рамануджан дав кілька подань у вигляді рядів, які чудові тим, що вони забезпечують кілька нових значущих цифр на кожній ітерації. Серед них:
отримав ряди іншого типу:
а також аналогічні подання для інших сталих .
Отримано й інші подання у вигляді рядів, зокрема:
Деякі з цих подань використано для обчислення сталої Апері з багатьма мільйонами значущих цифр.
1998 року отримано подання у вигляді ряду, яке дає можливість обчислити довільний біт сталої Апері.
Подання у вигляді інтегралів Існує також багато різних інтегральних подань для сталої Апері, починаючи від тривіальних формул на зразок
або
,
які випливають із найпростіших інтегральних визначень дзета-функції РіманаГ. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969, до досить складних, таких, як
(Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.), (F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.), (Ярослав БлагушинIaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF).
Ланцюгові дроби Ланцюговий дріб для сталої Апері () має такий вигляд:
Перший узагальнений ланцюговий дріб для сталої Апері, що має закономірність, відкрили незалежно Стілтьєс і Рамануджан:
Його можна перетворити до вигляду:
Апері зміг прискорити збіжність ланцюгового дробу для сталої:
Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
Обчислення десяткових цифр Число відомих значущих цифр сталої Апері значно зросло за останні десятиліття завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів. +Кількість відомих значущих цифр сталої Апері Дата Кількість значущих цифр Автори обчислення 1735 16 Леонард Ейлер 1887 32 Томас Йоанес Стілтьєс 1996 Greg J. Fee & Simon Plouffe 1997 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou 1997, травень Patrick Demichel 1998, лютий Sebastian Wedeniwski 1998, березень Sebastian Wedeniwski 1998, липень Sebastian Wedeniwski 1998, грудень Sebastian Wedeniwski 2001, вересень Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 2002, лютий Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 2003, лютий Patrick Demichel & Xavier Gourdon 2006, квітень Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 2009, січень Alexander J. Yee & Raymond Chan 2009, березень Alexander J. Yee & Raymond Chan 2010, вересень Alexander J. Yee 2013, вересень Robert J. Setti 2015, серпень Ron Watkins 2015, грудень Dipanjan Nag 2017, серпень Ron Watkins 2019, травень Ian Cutress 2020, липень Seungmin KimApéry's Constant | Polymath Collector
Інші значення дзета-функції в непарних точках Існує багато досліджень, присвячених іншим значенням дзета-функції Рімана в непарних точках при . Зокрема, в роботах і Тангая Рівоаля показано, що ірраціональними є нескінченна множина чисел , а також що принаймні одне з чисел , , , або є ірраціональним.
Примітки
Посилання