Щільний порядок — бінарне відношення між елементами множин у частковому або лінійному порядку (позначимо його <) на множині X, коли для всіх x і y з X, для яких виконується x < y, існує елемент z в X, такий що x < z < y. Іншими словами, порядок називають щільним, коли немає сусідніх елементів. Оскільки між будь-якими двома елементами щільного порядку є ще хоча б один, будь-який відрізок щільного порядку нескінченний.
Приклад Щільною впорядкованою множиною є дійсні числа і раціональні числа зі звичайним порядком. З іншого боку, звичайний порядок цілих чисел щільним не є.
Єдиність Георг Кантор довів, що дві будь-які щільні лінійно впорядковані зліченні множини без нижньої і верхньої меж ізоморфні відносно впорядкування. Зокрема, існує ізоморфізм зі збереженням порядку між раціональними числами та іншими щільними зліченними множинами, включно з двійково-раціональними числами й алгебричними числа. У використовується доведення цього результату.
Для визначення ізоморфізмів порядку між квадратичними алгебричними числами і раціональними числами, а також між раціональними числами і двійково-раціональними числами можна використати функцію Мінковського.
Узагальнення Бінарне відношення R вважається щільним, якщо для всіх пов'язаних відношенням R x і y, є z, таке що x і z, а також z і y пов'язані відношенням R. Формально:
У термінах R із собою, умову щільності можна альтернативно виразити як .
Достатніми умовами до того, що бінарне відношення R на множині X матиме щільний порядок, є випадки коли:
R рефлексивне; R корефлексивне ; R квазірефлексивне ; R ліво- або правоевклідове; R симетричне і і X має елементів.
Жодна з них не є необхідною. Непорожнє щільне відношення не може бути антитранзитивним.
Строго частковий порядок < є щільним порядком тоді і тільки тоді, коли < є щільним відношенням. Щільне відношення є , коли воно також транзитивне.
Див. також Щільна множина
Семантика Кріпке — щільне відношення досяжності, яке відповідає аксіомі
Примітки
Джерела