Нескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторівФункциональный анализ // / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — , Советская энциклопедия, 1988. — с. 613—615.
Визначення Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з векторівШикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — , МГУ, 1987. — с. 17.
Базис Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.
Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів утворює базис Шаудера простору , якщо кожен елемент можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду . Базис Шаудера існує не завжди.
Приклади
Лінійний простір неперервних на даному проміжку функцій. Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел зі збіжною сумою квадратів . Множина всіх многочленів. Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.Манин Ю. И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-287-9. — с. 148
Властивості
Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому скінченновимірному.
Див. також Скінченновимірний простір
Примітки
Література