Парність перестановки скінченної множини — це парність кількості інверсії цієї множини.
Множина перестановок розбивається на рівні підмножини: парних і непарних перестановок.
Транспозиції та інверсії Відомо, що довільну перестановку можна утворити через послідовність транспозицій(обмінів) пар елементів.
І парність кількості транспозицій буде дорівнювати парності інверсій.
Доведення Транспозиція двох сусідніх елементів змінює кількість інверсій на Транспозиція двох довільних елементів зводиться до непарного числа транспозицій сусідніх елементів. Транспозиція — змінює кількість інверсій на непарне число. Оскільки тотожна перестановка має 0 транспозицій та 0 інверсій, то парність кількості транспозицій дорівнює парності кількості інверсій.
Підгрупа парних перестановок Тотожне перетворення є парною перестановкою. Добуток парних перестановок є парною перестановкою. Обернена перестановка до парної перестановки є парною.
Отже парні перестановки утворюють групу (називається знакозмінною групою), що є підгрупою симетричної групи (групи всіх перестановок множини).
Джерела