Рівняння п'ятого степеня є результатом прирівнювання многочлена п'ятого степеня до нуля. Воно має загальний вигляд
Оскільки найвищий степінь є непарним, то рівняння (як і кубічне рівняння) має хоча б 1 дійсний корінь.
Нерозв'язними в радикалах вже є досить прості рівняння 5-го степеня, як:
Нормалізація Зведена форма: лінійним перетворенням Чірнхауса можна позбутися 4-го степеня і привести рівняння до:
.
Первинна форма: квадратичним перетворенням Чірнхауса можна позбутися 4-го та 3-го степенів:
коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.
Форма Брінга — Жерарда: перетворенням Чірнхауса 4-го степеня можна привести рівняння до вигляду:
Розв'язність в радикалах Є декілька параметричних представлень для розв'язних рівнянь 5-го степеня (в формі Брінга—Жерарда):
Результат другої половини 19-го століття, John Stuart Glashan, George Paxton Young та Карл Рунге:
незвідне рівняння 5-го степеня з раціональними коефіцієнтами є розв'язним тоді й лише тоді, якщо
де та є раціональними.
В 1994, Blair Spearman та Kenneth S. Williams дали ще одне представлення,
Розв'язність в радикалах Брінга
Корені многочлена
Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:
Див. також Перетворення Чірнхауса Результант Матриця Сильвестра
Джерела