Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій визначеної на множині , це норма означена як невід'ємне число:
Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають: нормою Чебишова для функцій або рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.
Якщо — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають (). Зокрема, якщо — це деякий такий вектор, що у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:
Це називають .
Пов'язані означення Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку функції (зазвичай позначають , іноді або або ) . Норма в цьому просторі визначається так:
Властивості
Якщо послідовність елементів з збігається в цьому просторі до деякої граничної функції , то при . Звідси: — банахів простір. Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса. В не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.
Варіації та узагальнення Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.
Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) називають множину всіх неперервних обмежених функцій зі введеною на ній нормою:
Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:
У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність
Його поповненням є — простір сумованих функцій.
Література