Трига́мма-фу́нкція в математиці є другою з полігамма-функцій. Її позначають і визначають як
де — гамма-функція. З цього визначення випливає, що
де — дигамма-функція (перша з полігамма-функцій).
Тригамма-функцію можна також визначити через суму такого ряду:
звідки видно, що вона є окремим випадком дзета-функції Гурвіца,
Ці формули істинні, коли (у зазначених точках функція має квадратичні сингулярності, див. графік функції).
Існують також інші позначення для , використовувані в літературі:
Іноді термін «тригамма-функція» застосовують для функції .
Інтегральні подання Використовуючи подання у вигляді ряду, а також формулу для суми членів геометричної прогресії, можна отримати таке подвійне інтегральне подання:
За допомогою інтегрування за частинами виходить таке одинарне подання:
Використовується також інше подання, яке можна отримати з попереднього заміною x = e—t:
Інші формули Тригамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення
а також формулу доповнення
Для тригамма-функції кратного аргументу існує така властивість:
Наведемо також асимптотичний розклад із використанням чисел Бернуллі:
Часткові значення Нижче наведено часткові значення тригамма-функції:
де G — стала Каталана, а — функція Клаузена, пов'язана з уявною частиною дилогарифма через
Використовуючи формулу кратного аргументу і формулу доповнення, a також зв'язок з функцією КлаузенаC.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral , J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342P.J. de Doelder, On the Clausen integral and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330, маємо:
Для значень за межами інтервалу можна використати рекурентне співвідношення, наведене вище. Наприклад,
Див. також Гамма-функція Дигамма-функція Полігамма-функція Стала Каталана Дзета-функція Гурвіца
Примітки
Посилання Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. розділ § 6.4