Фо́рмула суму́вання А́беля, яку ввів норвезький математик Нільс Генрік Абель, часто застосовується в теорії чисел для оцінення сум скінченних і нескінченних рядів.
Формула Нехай — послідовність дійсних або комплексних чисел і — неперервно диференційовна на промені функція. Тоді
де
В загальному випадку, якщо є неперервно диференційовною на то
Якщо часткові суми ряду обмежені, а , то граничним переходом можна отримати таку рівність
Приклади
Стала Ейлера — Маскероні
Для і легко бачити, що тоді
переносячи в ліву частину логарифм і переходячи до границі, отримуємо вираз для сталої Ейлера — Маскероні:
, де — дробова частина число .
Подання дзета-функції Рімана
Для і аналогічно тоді
Цю формулу можна використовувати для визначення дзета-функції в області оскільки в цьому випадку інтеграл збігається абсолютно. Крім того, з неї випливає, що має простий полюс із лишком 1 у точці s = 1.
Сумування Ейлера — Маклорена
У загальному випадку, якщо є неперервно диференційовною на і всі (тоді також ) то:
Для доведення останньої рівності використано інтегрування частинами.
Рівність
називається формулою сумування Ейлера — Маклорена. Якщо є цілими числами, то вона є найпростішим випадком формул Ейлера — Маклорена. Дана формула часто використовується у аналітичній теорії чисел. Зокрема приклади вище є частковими випадками цієї формули.
Інший важливий приклад застосування можна отримати, якщо взяти і Тоді
Перший доданок у правій частині є рівним а два інші є Отже остаточно:
Посилання