Теорема Фенхеля стверджує, що варіація повороту будь-якої замкнутої кривої не менша від і рівність досягається лише в разі опуклої плоскої кривої. Зокрема, середня кривина замкнутої кривої довжини не може бути меншою від .
Теорему довів 1929 року.W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven, Mathematische Annalen 101: 238—252.
Про доведення Зазвичай доведення будують на твердженні, що сферична крива довжини менше ніж лежить у відкритій півсфері. Це твердження можна довести, наприклад, застосувавши формулу Крофтона, але відомі й елементарніші доведення.
Залишається зауважити, що крива, утворена одиничними дотичними векторами (дотична індикатриса) до початкової кривої, не може лежати у відкритій півсфері. Отже її довжина не менша від , довжина ж цієї кривої збігається з інтегралом кривини.
Варіації та узагальнення Лема Решетняка про хорду. Якщо регулярна гладка підходить до своєї хорди під кутами і , то поворот кривий принаймні . Це твердження легко випливає з теореми Фенхеля, але найчастіше його зручніше використовувати. Наприклад, сама теорема Фенхеля випливає, якщо застосувати лему до розбиття замкнутої кривої на дві дуги.
Див. також Теорема Фарі — Мілнора Теорема про поворот плоскої кривої
Примітки
Література