Умова Слейтера — це достатня умова для сильної двоїстості в задачі опуклої оптимізації. Умову названо ім'ям Мортона Л. Слейтера. Неформально, умова Слейтера стверджує, що допустима область повинна мати внутрішню точку (див. подробиці нижче).
Умова Слейтера є прикладом умов регулярності . Зокрема, якщо умова Слейтера виконується для прямої задачі, то розрив двоїстості дорівнює 0 і якщо значення двоїстої задачі скінченне, воно досягається.
Формулювання Розглянемо задачу оптимізації: Мінімізувати За обмежень
,
де — опуклі функції. Це випадок задачі опуклого програмування.
Іншими словами, умова Слейтера для опуклого програмування стверджує, що сильна двоїстість виконується, якщо є точка , така, що лежить строго всередині області допустимих розв'язків (тобто всі обмеження виконуються, а нелінійні обмеження виконуються як строгі нерівності).
Математично умова Слейтера стверджує, що сильна двоїстість виконується, якщо існує точка (де relint позначає відносну внутрішність опуклої множини ), така, що
(опуклі нелінійні обмеження) .
Узагальнені нерівності Нехай дано задачу: Мінімізувати За обмежень
,
де функція опукла, а — опукла для будь-якого . Тоді умова Слейтера каже, що у випадку, коли існує , таке, що
і
то має місце сильна двоїстість.
Примітки
Література
Передруковано в