У геометрії групу ізометрій гіперболічного простору називають геометрично скінченною, якщо вона має коректну фундаментальну область. Гіперболічний многовид називається геометрично скінченним, якщо його можна описати в термінах геометрично скінченних груп.
Геометрично скінченні многогранники
Опуклий многогранник у гіперболічному просторі називається геометрично скінченним, якщо його замикання у конформній компактифікації гіперболічного простору має наступну властивість: Для будь-якої точки в існує окіл точки такий, що всі грані , що перетинаються з , також проходять через .Ratcliffe, John G. (1994), § 12.4. Наприклад, будь-який многогранник зі скінченною кількістю граней геометрично скінченний. У гіперболічному просторі розмірності не більше будь-який геометрично скінченний многогранник має скінченну кількість сторін, але є геометрично скінченні многогранники у розмірності і вище з нескінченною кількістю сторін. Наприклад, в евклідовому просторі розмірності є многогранник з нескінченною кількістю сторін. Модель верхньої напівплощини -вимірного гіперболічного простору в проектується на , а обернений образ многогранника при цій проєкції є геометрично скінченним многогранником з нескінченною кількістю сторін.
Геометрично скінченний многогранник має лише скінченну кількість вершин, і всі сторони, крім скінченної кількості, перетинаються в одній з вершин.
Геометрично скінченні групи
Дискретна група ізометрій гіперболічного простору називається геометрично скінченною, якщо вона має фундаментальну область , яка є опуклою, геометрично скінченною та точною (будь-яка грань є перетином і для деякого ).
У гіперболічних просторах розмірності не більше кожен точний, опуклий фундаментальний многогранник для геометрично скінченних групи має лише скінченну кількість сторін, але у розмірності і вище існують приклади многогранників з нескінченною кількістю сторін.Ratcliffe, John G. (1994), § 12.4.6.
У гіперболічних просторах розмірності не більше скінченно породжені дискретні групи є геометрично скінченними, але Грінберг (1966)Greenberg, L. (1966), 433—441. показав, що існують приклади скінченно породжених дискретних груп у розмірності , які не є геометрично скінченними.
Геометрично скінченні многовиди
Гіперболічний многовид називається геометрично скінченними, якщо він має скінченну кількість компонентів, кожен з яких є гіперболічним фактор-простором за геометрично скінченною дискретною групою ізометрій.Ratcliffe, John G. (1994), § 12.7.
Див. також
Примітки
Література