У математиці, і зокрема у функційному аналізі, оператор зсуву, також відомий як оператор трансляції — це оператор, який переводить функцію у її трансляцію . В аналізі часових рядів оператор зсуву називається оператором відставання.
Оператори зсуву є прикладами лінійних операторів, важливі через їх простоту та природність. Дія оператора зсуву на функції дійсної змінної відіграє важливу роль у гармонічному аналізі, наприклад, вона з’являється у визначеннях майже періодичних функцій, позитивно визначених функцій, похідних і згортки. Зміщення послідовностей (функцій цілочисельної змінної) з’являються в різних областях, таких як простори Гарді, теорія абелевих многовидів і теорія символічної динаміки, для яких карта Бейкера є наочним представленням.
Означення
Функції дійсної змінної Оператор зсуву (де ) переводить функцію визначену на R у її образ ,
Практичне операційно-численне представлення лінійного оператора в термінах звичайної похідної було запропоноване Лагранжем
який можна інтерпретувати через його формальний розклад Тейлора в ; і чия дія на одночлен очевидна з біноміальної теореми, а отже, і на увесь ряд за , отже, на всі функції , як описано вищеJordan, Charles, (1939/1965).. Отже, це формальне кодування розкладу Тейлора в аналізі Хевісайда.
Таким чином, оператор надає прототипM Hamermesh (1989), Group Theory and Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, online. знаменитого адвективного потоку Лі для абелевих груп,
де канонічні координати (функції Абеля) визначені так, що
З цього легко випливає, що, наприклад, дає масштабування,
отже (паритет); так само, даєp 75 of Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen, Teubner, Leipzig, 1891.
дає
дає
тощо.
Початкова умова потоку та групова властивість однозначно визначають весь потік Лі, забезпечуючи розв’язок трансляційного функційного рівняння Aczel, J (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, .
Послідовності Оператор зсуву вліво діє на односторонню нескінченну послідовність чисел наступним чином
а на двосторонніх нескінченних послідовностях
Оператор зсуву вправо діє на односторонню нескінченну послідовність чисел задається так
а на двосторонніх нескінченних послідовностях
Оператори зсуву вправо і вліво, що діють на двосторонні нескінченні послідовності, називаються двосторонніми зсувами.
Абелеві групи Загалом, як показано вище, якщо є функцією на абелевій групі , а є елементом , оператор зсуву відображає на "A one-parameter continuous group is equivalent to a group of translations".
Властивості оператора зсуву Оператор зсуву, що діє на дійсно- чи комплекснозначні функції або послідовності, є лінійним оператором, який зберігає більшість стандартних норм, якими оперують в функційному аналізі. Тому зазвичай це неперервний оператор з нормою один.
Застосування на Гільбертових просторах Оператор зсуву, що діє на двосторонні послідовності, є унітарним оператором в . Оператор зсуву, що діє на функції дійсної змінної, є унітарним оператором в .
В обох випадках оператор зсуву (вліво) задовольняє таке комутаційне співвідношення з перетворенням Фур’є:де — оператор множення на . Отже, спектр є одиничним колом.
Однобічний зсув , що діє в , є правильною ізометрією з діапазоном, що дорівнює всім векторам, перша координата яких зануляється. Оператор S є стисненням у сенсіде — вектор у з для та для . Це спостереження лежить в основі побудови багатьох унітарних розширень ізометрій.
Спектр S є одиничним кругом. Зсув S є одним із прикладів оператора Фредгольма з індексом Фредгольма −1.
Узагальнення Жан Дельсарт ввів поняття узагальненого оператора зсуву (також називається узагальненим оператором зсуву ); далі поняття розвинув Борис Левітан.
Сімейство операторів , що діють в просторі функцій з множини на множину , називається сімейством операторів узагальненого зсуву, якщо задовольняються наступні умови:
Асоціативність: нехай . Тоді . — є тотожним оператором.
Див. також
Арифметичний зсув Логічний зсув Кінцева різниця
Примітки
Бібліографія
Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.