Резисти́вна ві́дстань між двома вершинами простого зв'язного графа дорівнює опору між двома еквівалентними точками електричного кола, побудованим заміною кожного ребра графа на опір 1 Ом. резистивні відстані є метрикою на графах.
Визначення На графі резистивна відстань між двома вершинами і дорівнює
,
де — обернена матриця Мура — Пенроуза матриці Кірхгофа графа .
Властивості резистивної відстані Якщо , то
Для неорієнтованого графа
Загальне правило суми Для будь-якого простого зв'язного графа з вершинами та довільною матриці виконується
З цього узагальненого правила суми число зв'язку можна отримати залежно від вибору . Два з них
де — ненульові власні числа матриці Кірхгофа. Цю суму називають індексом Кірхгофа графа.
Зв'язок з числом кістякових дерев графа Для простого зв'язного графа резистивну відстань між двома вершинами можна виразити як функцію на множині кістяків графа :
,
де — множина кістякових дерев графа .
Як квадрат евклідової відстані Оскільки лапласіан симетричний і додатно напіввизначений, його псевдообернена матриця також симетрична та додатно напіввизначена. Тоді існує , така, що і можна записати:
це показує, що квадрат резистивної відстані відповідає евклідовій відстані у просторі, натягнутому на .
Зв'язок із числами Фібоначчі Віяло — це граф з вершиною, в якому є ребра між вершинами та для будь-якого і є ребро між вершиною та для всіх
Резистивна відстань між вершиною та вершинами дорівнює , де — -е число Фібоначчі, для .
Див. також Провідність графа
Примітки
Література