Еліпс

В геометрії, еліпс (від  () — «нестача», «упущення») — плоска замкнена алгебрична раціональна крива 2-го порядку без особливих точок.

Історично еліпс був означений як переріз прямого кругового конуса нахиленою площиною.

Назву «ἔλλειψις» ( — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом) кривій дав Аполлоній Перзький в своїй праці «Конічні перерізи».

В сучасній геометрії еліпс частіше означають як криву на площині, для кожної точки якої, сума відстаней до двох фіксованих точок та цієї площини (фокусів еліпса) є сталою величиною. А саме:

Окремим випадком еліпса є коло, в якого обидва фокуси збігаються в одній точці, що є центром цього кола.

Форма еліпса (ступінь його «витягнутості») визначається його ексцентриситетом — числом, що приймає будь-яке значення від 0 (граничний випадок для кола) до 1 (за винятком самої 1). Тобто еліпс є деформованим колом при його стисненні.

Еліпс — крива другого порядку, тобто в декартовій системі координат задається рівнянням другого степеня.

Еліпс є замкненим типом конічного перерізу — двовимірною кривою, що утворюється внаслідок перерізу прямого кругового конуса площиною (див. малюнок праворуч). Еліпси мають дуже багато спільного із іншими формами конічних перерізів: параболою і гіперболою, обидві з яких є відкритими і необмеженими кривими.

Перерізом прямого кругового циліндра площиною також є еліпс, крім випадку, коли площина проходить паралельно осі обертання циліндра.

Еліпси широко використовуються в фізиці, астрономії та інженерії. Наприклад, орбіти планет нашої сонячної системи є дуже близькими до еліпсів, де однією із фокусних точок буде спільний барицентр планети і Сонця. Те саме є справедливим і для супутників, що обертаються довкола планет, і для інших систем, що складаються з двох астрономічних тіл. Форми планет і зірок часто добре описуються за допомогою еліпсоїдів.

Означення еліпса як геометричного місця точок

Еліпс можна визначити геометрично як множину точок (геометричне місце точок) у Евклідовому просторі:

Еліпс — це множина точок, така, що для кожної точки цієї множини, сума відстаней до двох різних фіксованих точок , , що називаються фокусами, залишається сталою (зазвичай ця стала величина позначається як ). Для того, щоб виключити окремий випадок — лінійний відрізок, сталу величину приймають більшою за відстань між точками та :

У більш формальному вигляді, для заданого , еліпс є множиною

Точки і називають фокусами еліпса.Середню точку відрізку, що з'єднує між собою точки фокусів називають центром еліпса.Відстань від фокуса до центра еліпса називають фокусною відстанню або лінійним ексцентриситетом. Отже, відстань між фокусами: . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові: .

Пряма, що проходить через фокуси називається великою або головною віссю, а пряма, що проходить перпендикулярно до неї через центр називається малою віссю. На головній осі знаходяться вершини , відстань від яких до центра еліпса дорівнює .

Відношення називають ексцентриситетом еліпса.

У випадку, коли , еліпс приймає форму кола. Коло теж вважається еліпсом.

Рівняння можна розглянути в іншій формі (див. малюнок).

Якщо є колом із центром в точці і радіусом , тоді відстань від точки до кола дорівнює відстані до фокуса :

називається круговою директрисою (що відноситься до фокуса ) еліпса.The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as «Director circle», but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle). Цей випадок не треба плутати із визначенням еліпса за допомогою директриси, що є прямою лінією.

Інші означення еліпса

Аналітичне означенняЕліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс належить до кривих другого порядку.

При розгляді куль Данделена можна довести наступне твердження: Будь-який переріз прямого кругового конуса площиною, яка не проходить через вершину конуса і нахил якої менший ніж нахил твірних конуса до його основи, є еліпсом. Еліпс є перерізом прямого кругового циліндра похилою площиною; Еліпс є фігурою, що отримана з кола шляхом афінного перетворення; Еліпс є отрогональною проєкцією кола на площину.

Елементи еліпса

Вершини еліпса Точки перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпса.

Осі еліпса Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса  — відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

Директриса та ексцентриситет Число  — це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса . Прямі, що мають рівняння та називають директрисами еліпса. Ці прямі характерні тим, що відношення відстані між будь-якою точкою еліпса та найближчим фокусом до відстані від цієї точки до найближчої директриси є сталим і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань від фокуса до центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: .

Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т. д.

Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.

Фокальний параметр Довжина відрізку, що є половиною хорди, яка проходить через один із фокусів еліпса перпендикулярно до великої осі називається фокальним параметром . Фокальний параметр можна визначити за формулою:

Фокальний параметр також можна розглядати як радіус кривини стичного кола у вершинах .

Означення еліпса на основі властивості директриси

Дві прямі, що лежать на відстані від центра еліпса і паралельні малій осі еліпса називаються директрисами еліпса (див. рисунок). Для довільної точки , що лежить на еліпсі відношення відстані від неї до одного з фокусів і до відповідної директриси (як на малюнку) дорівнює значенню ексцентриситета:

Доведення для пари випливає із твердження, що і задовольняють наступному рівнянню

Аналогічним чином доводиться і другий випадок.

Обернене твердження є також вірним і його можна використовувати для означення еліпса (у спосіб аналогічний означенню параболи): Для будь-якої точки (що є фокусом), будь-якої прямої (директриса), що не проходить через точку і будь-якого дійсного числа такого що геометричне місце точок, для яких відношення відстані до даної точки і до прямої дорівнює

є еліпсом. Вибір значення , що відповідає значенню ексцентриситета для кола, в даному контексті не дозволяється. Можна вважати, що директрисою кола є пряма на нескінченності.

(Вибір значення приводить до утворення параболи, а якщо , то гіперболи.)

Доведення Нехай і припустимо, що є точкою кривої. Директриса задана рівнянням . Якщо , рівняння утворює наступні рівняння і Після заміни отримаємо

Це є рівняння еліпса () або параболи () або гіперболи (). Всі ці невироджені конічні перерізи мають спільний початок у вершині (див. малюнок).

Якщо , введемо нові параметри такі, що , та , тоді вищезгадане рівняння стає

що є рівнянням еліпса із центром , а вісь x є великою віссю, а довжини великої і малої півосей дорівнюють відповідно та .

Загальний випадок Якщо фокусом є , а директрисою є отримаємо наступне рівняння:

(У правій частині рівняння використана для прямої, щоб розрахувати відстань .)

Рівняння еліпса у декартовій системі координат

Канонічне рівняння еліпса Якщо в Декартовій системі координат задати еліпс таким чином, що початок координат знаходитиметься в центрі еліпса, вісь x лежатиме на великій осі і фокуси є точками, що задані як , вершинами є точки . Для довільної точки відстань до фокусу становитиме , а до другого фокусу . Точка знаходиться на еліпсі, якщо для неї виконується наступна рівність:

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і використаємо рівність , в результаті чого отримаємо рівняння еліпса:

Якщо розв'язати його для y, то рівняння матиме вигляд:

Параметри, які визначають форму еліпса називаються великою і малою півосями еліпса. Точки є вершинами еліпса на малій півосі.

З цього рівняння випливає, що еліпс є симетричним відносно обох осей координат і таким чином є симетричним відносно початку координат.

Параметричне рівняння еліпса

За допомогою тригонометричних функцій , параметричне представлення еліпса можна задати так: де

Параметр (в астрономії його називають ексцентричною аномалією) по суті не є кутом утвореним із віссю x (як показано на діаграмі праворуч). Аби зрозуміти інтерпретацію параметру необхідно розглянути розділ про методи креслення еліпсів.

Нормальне рівняння еліпса

Дотична Довільно обрана пряма може перетинати еліпс у 0, 1 або 2 точках. У першому випадку така пряма називається зовнішньою прямою, у другому випадку дотичною і січною у третьому випадку. Через одну точку еліпса можна провести лише одну дотичну. Дотична в точці еліпса має наступне рівняння координат:

Рівняння дотичної у векторній формі є наступним: із

Доведення: Нехай буде точкою еліпса, а є векторним рівнянням прямої (що містить ). Якщо додати рівняння прямої у рівняння еліпса і відповідно отримаємо:

У випадку, коли пряма і еліпс мають лише одну спільну точку і є дотичною. Напрям дотичної є ортогональним вектору , що є вектором нормалі відносно дотичної, а дотична має рівняння із досі не відомим . Оскільки знаходиться і на дотичній і на еліпсі, отримаємо .

У випадку, коли пряма має другу спільну точку із еліпсом.

із допомогою рівняння (1) можна легко перевірити, що є вектором дотичної у точці , що доводить векторне рівняння.

Примітка: Якщо і є двома точками на еліпсі, такими що виконується рівняння , тоді точки знаходяться на двох спряжених діаметрах еліпса. У випадку коли еліпс є колом, а «спряженість» означатиме «ортогональність».

Нормаль є бісектрисою кута між прямими до точок фокусів

Для еліпса правдивим є наступне твердження: Нормаль, що проходить через точку є бісектрисою кута між прямими . Доведення Оскільки дотична є перпендикуляром до нормалі, твердження буде також вірним щодо дотичної і додаткових кутів до прямих, що проходять крізь фокуси (see diagram), too.

Нехай є точкою на прямій , відстань від якої до фокусу дорівнює , є великою пів віссю еліпса. Пряма є бісектрисою кута між прямими . Для того, щоб довести що є дотичною прямою в точці , перевіримо, що будь-яка точка на прямій , що є відмінною від точки не може знаходитися на еліпсі. Оскільки має одну єдину точку яка є спільною із еліпсом і є, таким чином, дотичною у точці .

Із наведеного малюнку і нерівності трикутника можна встановити, що є вірним, що означає: . Але якщо є точкою еліпса, сума повинна бути рівною . Застосування Промені, що проходять через один із фокусів відбиваються від кривої еліпса, так що вони проходять через другий фокус. Ця властивість має своє застосування у оптиці і акустиці, аналогічно як і аналогічна властивість відбивання променів у параболи (див. ).

Діаметр еліпса

Хордою еліпса називають відрізок, що сполучає дві точки еліпса.

Діаметром еліпса називають довільну хорду, що проходить через його центр.

Також можливе означення діаметра еліпса (кола) — відрізок, що сполучає дві точки цього еліпса і проходить через його центр.

Діаметр, що відповідає хордам, паралельним малій осі еліпса, є його велика вісь, а діаметр, що відповідає хордам, паралельним великій осі, є мала вісь еліпса

Для еліпса кутовий коефіціент паралельних хорд () та кутовий коефіцієнт відповідного діаметра пов'язані співвідношенням:

де  — ексцентриситет еліпса.