Не плутати з
Стала Гельфонда–Шнайдера або число Гільберта дорівнює двійці у степені квадратного кореня з двох:
Трансцендентність цього числа була доведена Р.О. Кузьміним у 1930 році. У 1934 році Олександр Гельфонд і незалежно один від одного довели більш загальну , яка вирішила частину , описаної нижче.
Властивості
Квадратний корінь зі сталої Гельфонда–Шнайдера є трансцендентним числом:
Цю ж саму сталу можна використати для доведення, що ``ірраціональна степінь ірраціонального числа може бути раціональним числом'', навіть без попереднього доведення трансцендентності . Доведення наступне: або число є раціональним, що доводить теорему, або воно є ірраціональним (як виявляється), і тоді число
є ірраціональним числом в ірраціональному степені, а отже, є раціональним, що й доводить теорему.., Доведення не є конструктивним, оскільки не вказує, який із двох випадків вірний, але воно набагато простіше, ніж доведення Р. Кузьміна.
Сьома проблема Гільберта
Частина сьомої з двадцяти трьох проблем Гільберта, поставлених у 1900 році, полягала в тому, щоб довести або знайти контрприклад до твердження, що вираз завжди є трансцендентним для алгебраїчної сталої та ірраціональної алгебраїчної сталої . У своїй промові він навів два явних приклади, один із яких — стала Гельфонда–Шнайдера .
У 1919 році він прочитав лекцію з теорії чисел і розповів про три припущення: гіпотезу Рімана, останню теорему Ферма та трансцендентність . Він зазначив аудиторії, що не сподівався, що хтось із присутніх у залі проживе достатньо довго, щоб побачити доведення цього результату.David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919—1920. Але доказ трансцендентності цього числа був опублікований Р. Кузьміним у 1930 році, ще за життя Д. Гільберта. А саме, Р. Кузьмін довів випадок, коли показник степеня є дійсним квадратичним ірраціональним числом, який пізніше був розширений до довільного алгебраїчного ірраціонального числа Гельфондом і Шнайдером.
Див. також
Література
Додаткова література