Теорема Вейля про рівномірний розподіл формулює критерій рівномірної розподіленості нескінченної послідовності дійсних чисел із відрізка .
Теорему довів 1914 року і опублікував 1916 року Герман Вейль.
Визначення Нехай — нескінченна послідовність дійсних чисел з інтервалу .
Для чисел позначимо через кількість чисел з , що лежать у відрізку .
Визначимо граничне найбільше відхилення як .
Послідовність називається рівномірно розподіленою в , якщо . Іншими словами, послідовність рівномірно розподілена в якщо в будь-якому ненульовому відрізку частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до частки розміру відрізка в .
Формулювання теореми
Послідовність рівномірно розподілена в тоді й лише тоді, коли для будь-якої інтегровної за Ріманом на відрізку функції виконується тотожність:
Наслідки
Критерій із тригонометричними сумами Теорема Вейля дозволяє вивести прямий зв'язок рівномірності розподілу з тригонометричними сумами. Послідовність рівномірно розподілена в тоді й лише тоді, коли для будь-якого цілого виконується
Доведення останнього твердження проводиться аналогічно доведенню основної теореми (див. вище), тільки замість апроксимації кусково-лінійною функцією використовується апроксимація частковими сумами ряду Фур'є.
Стала у формулі фактично є значенням інтегралу .
Дробові частини від кратних ірраціональних Завдяки формулюванню теореми, яка використовує тригонометричні суми, легко вивести такий результат: Позначимо через дробову частину числа
Якщо — ірраціональне число, то послідовність рівномірно розподілена в .
Література
Примітки