mały|250px|Ciąg dodatnich liczb nieparzystych – przykład ciągu arytmetycznego z różnicą wyrazów równą dwa (r = 2)
Ciąg arytmetyczny, postęp arytmetyczny – rodzaj ciągu – skończonego lub nie – definiowany na kilka równoważnych sposobów. Zwykle zakłada się, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi choć da się też rozważać ciągi arytmetyczne o innych wyrazachmogą to być np. liczby zespolone, hiperzespolone, inne wektory kartezjańskie, reszty z dzielenia i dowolne obiekty, które da się dodawać.
Jedna z najprostszych definicji ciągu arytmetycznego mówi, że prawie każdy wyraz – oprócz początkowego – jest sumą: wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego; ustalonej liczby zwanej różnicą ciągusymbole i to kwantyfikatory:
Przykłady to ciągi: kolejnych liczb naturalnych: 0, 1, 2, 3, ... (r = 1); dodatnich liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, ... (r = 2); dodatnich liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, ... (r = 2); dodatnich wielokrotności liczby pi: π, 2π, 3π, 4π... (r = π).
Wiedza o ciągach arytmetycznych to w Polsce część wykształcenia średniego. Znajduje się w podstawie programowej polskich liceów i techników, także dla kursów w zakresie podstawowym matematyki Podstawa programowa z matematyki od 2025, Wydawnictwo Nowa Era, dlanauczyciela.nowaera.pl, 9 grudnia 2024 [dostęp 2025-10-10] – strona 329..
Podstawowe własności Równoważne definicje Ciąg jest arytmetyczny, jeśli:
Przykładowo ciąg 1, 2, 4, 8, ... nie jest arytmetyczny: 2−1 = 1, ale 8−4 = 4. Ciąg arytmetyczny o różnicy ma następujący wzór ogólny:
Ciąg trzech liczb jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:
Inne Dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy zerowej (r = 0). Aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu. Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych zawsze jest monotoniczny: rosnący, gdy różnica ciągu jest dodatnia (r > 0); malejący, gdy jest ujemna (r < 0); stały, gdy jest zerowa (r = 0).
Suma skończonego ciągu arytmetycznego mały|250px|Liczby trójkątne to sumy początkowych liczb naturalnych, czyli przykładowe sumy ciągu arytmetycznego. Na obrazku przedstawiono początkowe liczby trójkątne, bez Wzór Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i -tego pomnożona przez liczbę wyrazów :
Zbliżony wzór podał Leonardo z Pizy (Fibonacci) w roku 1202, w dziele Liber abaci (rozdział II.12). Być może Carl Friedrich Gauss niezależnie zauważył powyższy fakt jako siedmiolatek [dostęp 2025-10-10].MacTutor podaje tę historię twierdząc, że chodziło o dodanie kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100, zobacz , natomiast E.T. Bell w książce Men of Mathematics podaje, że chodziło o bardziej skomplikowany przypadek..
Dowód Wyraźmy sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami: oraz
(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).
Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy
a stąd
i
Pamiętając, że powyższą równość możemy przekształcić do:
Związek z funkcją liniową Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego
Dowód:
Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej
Czyli ciąg wartości funkcji liniowej dla kolejnych naturalnych
będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym
Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne Ciąg arytmetyczny, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-10-10]. Ciągi – własności ciągów arytmetycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-10-10]. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-10-10]. Piotr Stachura, Suma wyrazów ciągu arytmetycznego, kanał Khan Academy na YouTube, 5 lipca 2016 [dostęp 2024-06-23]. Arithmetic progression , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-10].
A Kategoria:Funkcje liniowe (matematyka elementarna)