mały|220px|Przykład krzywej Gaussa – wykresu rozkładu normalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych Jan Pluta, Krzywa Gaussa i odchylenie standardowe, zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-05].. Szara siatka przedstawia pewną własność takich wykresów, opisaną niżej mały|220px|Teoria grawitacji Newtona opisuje potencjał grawitacyjny jako funkcję rzeczywistą czterech zmiennych rzeczywistych – trzech współrzędnych przestrzennych oraz jednej czasowej. Dla ustalonej chwili i płaszczyzny liczba zmiennych (argumentów) tej funkcji spada do dwóch. Tutaj przedstawiono wykres potencjału grawitacyjnego w pobliżu Ziemi i Księżyca – użyto poziomic, zaznaczonych na czerwono. Są też znane jako linie ekwipotencjalne
Wykres funkcji – dwuznaczne pojęcie matematyczne: dla dowolnych zbiorów i funkcji między nimi jej wykresem nazywa się zbiór par uporządkowanych dany wzorem:
innymi słowy wykres tworzą pary złożone z argumentu i odpowiedniej wartości; wykres funkcji to także przedstawienie jej graficznie, prezentując powyższy zbiór lub jego część. Jest to możliwe tylko dla niektórych funkcji, o odpowiedniej dziedzinie i przeciwdziedzinie, m.in. dla przypadków opisanych niżej.
Sens mnogościowy Rzeczywiste argumenty i wartości W pierwszym wypadku argumenty funkcji i jej wartości mogą być między innymi liczbami rzeczywistymi. W szczególności – jeśli to funkcja jest nazywana funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej. Jej wykresem są wszystkie punkty postaci gdzie oraz Jest to podzbiór płaszczyzny kartezjańskiej, którą da się utożsamić z płaszczyzną euklidesową. Wzajemną odpowiedniość (bijekcję) zapewnia tu dowolny układ współrzędnych kartezjańskich Wykres i miejsce zerowe funkcji, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie (ZUT), matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-08-05]. Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Wykres funkcji, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2025-08-05]..
Argumenty funkcji i jej wartości mogą też należeć do innych zbiorów, np. wielowymiarowych przestrzeni kartezjańskich. Zbiór wszystkich par oznacza się i nazywa się iloczynem kartezjańskim. Jeśli to dowolną funkcję nazywa się funkcją dwóch zmiennych rzeczywistych. Jeśli to wykresem funkcji rzeczywistej są wtedy wszystkie punkty postaci:
Taka funkcja to inaczej pole skalarne na płaszczyźnie kartezjańskiej lub jej fragmencie. Funkcje tego typu można przedstawiać na co najmniej trzy sposoby – figurami dwu- lub trójwymiarowymi, co pokazują ilustracje obok.
W ogólności, gdy to:
Przypadek ogólny Wykresy rozumiane w ten sposób – jako podzbiory odpowiednich iloczynów kartezjańskich – to jednoznaczne relacje dwuczłonowe między dziedziną funkcji a przeciwdziedziną swojej funkcji. Takie pojęcie wykresu pokrywa się z jedną z formalnych definicji samej funkcji – definicją Peana Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina, Open AGH, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2025-08-05]..
Sens graficzny mały|220px|Wykresy przykładowych funkcji rzeczywistycj o dwóch zmiennych rzeczywistych. Są to wykresy w kartezjańskim układzie współrzędnych o trzech wymiarach. Ciągłość tych funkcji sprawia, że ich wykresy są powierzchniamil; te konkretne należą do rodziny nazywanej kwadrykami mały|220px|Wykres potencjału elektrycznego dla elektrycznego dipolu. Taki potencjał to inny przykład funkcji rzeczywistej o dwóch zmiennych rzeczywistych Na tym wykresie połączono obie metody prezentacji takich funkcji – jest powierzchnia zawieszona w trójwymiarze, ale są też izolinie
Informacje ogólne Jak wspomniano wyżej, wykresy rozumiane graficznie są możliwe tylko dla niektórych funkcji, o odpowiednich dziedzinach i przeciwdziedzinach. Jeśli to wykres jest możliwy m.in. dla funkcji: rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej: rzeczywistych dwóch zmiennych rzeczywistych: zespolonych jednej zmiennej rzeczywistej: zespolonych jednej zmiennej zespolonej:
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Wykresy takich funkcji najczęściej są przedstawiane w kartezjańskim układzie współrzędnych. Jednoznaczność funkcji jest związana z pewną własnością geometryczną takiego wykresu. Każda prosta pionowa – tj. równoległa do osi wartości – przecina taki wykres co najwyżej raz [dostęp 2025-08-05].. Widać to na jednej z ilustracji – niebieski wykres rozkładu normalnego jest przecinany przez szare, pionowe linie i każda z nich przecina wykres dokładnie raz.
Wykres takiej funkcji nie musi być krzywą – może: być układem rozłącznych krzywych – por. wykresy funkcji signum, podłogi i sufitu; w ogóle nie zawierać krzywych – por. wykresy funkcji Dirichleta i funkcji Thomae.
Z takiego wykresu da się odczytać podstawowe własności funkcji: dziedzina funkcji – ta część osi argumentów, która jest nad wykresem, pod nim lub się z nim pokrywa; dziedzina funkcji to rzut prostokątny wykresu na oś argumentów; miejsca zerowe – przecięcia wykresu z osią argumentów; punkty ekstremalne; punkty osobliwe; monotoniczność; okresowość.
Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych
Niech dziedzina funkcji będzie obszarem na płaszczyźnie euklidesowej. Jeśli ta funkcja jest ciągła, to jej wykres jest powierzchnią; przykłady podano na ilustracjach. Powierzchnia wykresu może być „zawieszona” nad tym obszarem, pod nim lub go przecinać.
Funkcje zespolone
Zobacz też wykres
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-04]: Anna Jeżewska, Wykres funkcji i wykresy wybranych funkcji; Witold Sadowski, Paweł Kwiatkowski, Czytanie wykresu funkcji; Jan Pluta, Jak czytać wykresy i schematy?; Hanna Mąka, Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach; Katarzyna Podfigurna, Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania zadań.
[dostęp 2025-08-03]. Graph of a mapping , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-03].
Kategoria:Funkcje matematyczne Kategoria:Wykresy