Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow, a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać:
gdzie: są większe od 0, – kapitał, – praca, – elastyczność substytucji,
co jest równoznaczne z zapisem:
gdzie: – stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się
Właściwości funkcji Funkcja CES jest homogeniczna stopnia Dla jest quasi-wypukła, dla quasi-wklęsła. Dla i jest ściśle wklęsła.
Elastyczność funkcji CES Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS).
po przekształceniu:
Po zlogarytmowaniu obu stron:
Stąd elastyczność substytucji:
Minimalizacja kosztów Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci można przedstawić jako:
przy warunku:
Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:
Wyznaczamy (1)
i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje
Wyznaczamy i podstawiamy do równań z (1):
Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy
W ogólnym przypadku, gdzie a za przyjmiemy funkcja kosztów przyjmuje postać:
Szczególne przypadki funkcji CES Funkcja Cobba-Douglasa W granicy dla i funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa:
Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES
i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala
stąd
Funkcja Leontiefa Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa
Funkcja liniowa Przy nieskończonej elastyczności, czyli funkcja CES jest liniowa:
Zobacz też krańcowa stopa substytucji korzyści skali
Przypisy
Bibliografia R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978. P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948. M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980. Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.
Linki zewnętrzne Anatomy of CES Production/Utility Functions in Three Dimensions Closed Form Solutions in Economics
Kategoria:Elastyczność Kategoria:Produkcja Kategoria:Ekonomia