Jedynka aproksymacyjna (także: aproksymatywna; ang. approximate identity, dosł. „jedynka przybliżona”) – w analizie funkcjonalnej, szczególnie w teorii algebr Banacha, rodzina elementów przybliżająca jedynkę (element neutralny mnożenia) w algebrze Banacha, najczęściej bez jedynki.
Definicja Prawostronną jedynką aproksymacyjną w algebrze Banacha jest ciąg uogólniony taki, że dla każdego elementu zachodzi
Podobnie definiujemy lewostronną jedynkę aproksymacyjną w algebrze Banacha jako ciąg uogólniony taki, że dla każdego elementu zachodzi
Jedynka aproksymacyjna to ciąg uogólniony, który jest zarówno prawostronną, jak i lewostronną jedynką aproksymacyjną.
Często do powyższych definicji dodaje się również wymóg ograniczoności lub przeliczalności rodziny elementów. Istnieją algebry Banacha, które nie mają jedynki aproksymacyjnej. Trywialnym przykładem jest dowolna przestrzeń Banacha zerowym mnożeniem, tj. dla wszelkich
thumb|400px|Wykres kilku pierwszych jąder Fejéra
Algebry splotowe Jedynka aproksymacyjna w algebrach splotowych odgrywa taką samą rolę jak ciąg funkcji aproksymujący deltę Diraca (która jest elementem neutralnym splotu). Przykładem takiej jedynki aproksymacyjnej może być jądro Fejéra w teorii szeregów Fouriera, czyli rodzina funkcji danych wzorem:
dla naturalnych. Jest to jedynka aproksymacyjna na algebrze splotowej funkcji całkowalnych okresowych .
C*-algebry Domknięte ideały C*-algebr (a więc same C*-algebry bez jedynki) mają zawsze jedynki aproksymacyjne, które dodatkowo są quasicentralne. Dokładniej, jeżeli jest domkniętym ideałem C*-algebry to istnieje taka jedynka aproksymacyjna w że dla wszelkich elementów zachodzi
Ponadto domknięta otoczka wypukła dowolnej jedynki aproksymacyjnej w zawiera jedynkę aproksymacyjną o powyższej własnościK.R. Davidson, C*-algebras by example, Fields Institute Monographs 6, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. Theorem I.9.16..
Przypisy
Kategoria:Algebry Banacha Kategoria:Analiza harmoniczna