thumb|249x249px|Wykres funkcji błędu w dziedzinie liczb rzeczywistych Funkcja błędu (funkcja błędu Gaussa) - funkcja nieelementarna oznaczana symbolem , zdefiniowana za pomocą całki
Funkcja błędu występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Zespolona funkcja błędu link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Plot_of_the_error_function_Erf(z)_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg|mały|250x250px|Wykres zespolonej funkcji błędu erf(z) w płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i Definiuje się zespoloną funkcję błędu nazywaną także funkcją Faddiejewej:
Najważniejsze własności i zastosowania Tw. 1 Funkcja błędu jest nieparzysta, tj.
Tw. 2 Prawdziwa jest zależność
gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby
Czyli: Wartość funkcji błędu obliczonej dla sprzężenia zespolonego liczby jest równa sprzężeniu zespolonemu wartości tej funkcji obliczonej dla liczby .
Tw. 3 (wartości w nieskończonościach)
a). W nieskończonościach na osi rzeczywistej mamy wartości graniczne
b). W nieskończonościach na osi urojonej mamy
Tw. 4 Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:
Rozwinięcia w szeregi potęgowe (1) Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że
dla każdego rzeczywistego
(2) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia (ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów)
gdzie oznacza silnię podwójną liczby
(3) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia
ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów
Przybliżenia za pomocą funkcji elementarnych (1) Funkcje błędu można dobrze przybliżyć przez podobnie wyglądające funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. i
oraz
Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.
(2) Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:
gdzie:
jest przybliżeniem Padégo rzędu zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa; .
(3) Przybliżenie to można jeszcze poprawić, redukując błąd do
gdzie jest uciąglonym przy pomocy wzoru Stirlinga rozkładem Poissona dla
Uzupełniająca funkcja błędu erfc Z funkcją błędu związana jest uzupełniająca funkcj błędu
Tablica wartości {| class="wikitable" |- !x || erf(x) || erfc(x) |rowspan=24 style="width:2px; background:#000000; padding:0;"| !x || erf(x) || erfc(x) |- |0,00 || 0,0000000 || 1,0000000 || 1,30 || 0,9340079 || 0,0659921 |- |0,05 || 0,0563720 || 0,9436280 || 1,40 || 0,9522851 || 0,0477149 |- |0,10 || 0,1124629 || 0,8875371 || 1,50 || 0,9661051 || 0,0338949 |- |0,15 || 0,1679960 || 0,8320040 || 1,60 || 0,9763484 || 0,0236516 |- |0,20 || 0,2227026 || 0,7772974 || 1,70 || 0,9837905 || 0,0162095 |- |0,25 || 0,2763264 || 0,7236736 || 1,80 || 0,9890905 || 0,0109095 |- |0,30 || 0,3286268 || 0,6713732 || 1,90 || 0,9927904 || 0,0072096 |- |0,35 || 0,3793821 || 0,6206179 || 2,00 || 0,9953223 || 0,0046777 |- |0,40 || 0,4283924 || 0,5716076 || 2,10 || 0,9970205 || 0,0029795 |- |0,45 || 0,4754817 || 0,5245183 || 2,20 || 0,9981372 || 0,0018628 |- |0,50 || 0,5204999 || 0,4795001 || 2,30 || 0,9988568 || 0,0011432 |- |0,55 || 0,5633234 || 0,4366766 || 2,40 || 0,9993115 || 0,0006885 |- |0,60 || 0,6038561 || 0,3961439 || 2,50 || 0,9995930 || 0,0004070 |- |0,65 || 0,6420293 || 0,3579707 || 2,60 || 0,9997640 || 0,0002360 |- |0,70 || 0,6778012 || 0,3221988 || 2,70 || 0,9998657 || 0,0001343 |- |0,75 || 0,7111556 || 0,2888444 || 2,80 || 0,9999250 || 0,0000750 |- |0,80 || 0,7421010 || 0,2578990 || 2,90 || 0,9999589 || 0,0000411 |- |0,85 || 0,7706681 || 0,2293319 || 3,00 || 0,9999779 || 0,0000221 |- |0,90 || 0,7969082 || 0,2030918 || 3,10 || 0,9999884 || 0,0000116 |- |0,95 || 0,8208908 || 0,1791092 || 3,20 || 0,9999940 || 0,0000060 |- |1,00 || 0,8427008 || 0,1572992 || 3,30 || 0,9999969 || 0,0000031 |- |1,10 || 0,8802051 || 0,1197949 || 3,40 || 0,9999985 || 0,0000015 |- |1,20 || 0,9103140 || 0,0896860 || 3,50 || 0,9999993 || 0,0000007
Zobacz też rozkład normalny
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-05-31]. Probability integral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
błędu Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Równania różniczkowe