Funkcja błędu — część 2

Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

Rozwinięcia w szeregi potęgowe (1) Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

dla każdego rzeczywistego

(2) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia (ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów)

gdzie oznacza silnię podwójną liczby

(3) Dla wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia

ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów

Przybliżenia za pomocą funkcji elementarnych (1) Funkcje błędu można dobrze przybliżyć przez podobnie wyglądające funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. i

oraz

Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.

(2) Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:

gdzie:

jest przybliżeniem Padégo rzędu zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa;