mały|Fragment wykresu cosinusa – przykładu funkcji parzystej
Funkcje parzyste i nieparzyste – typy funkcji matematycznych cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów.
Definicje i podstawowe wnioski Funkcja jest: parzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem zmiany znaku argumentu) Parzystość i nieparzystość funkcji, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 20223-10-10].; nieparzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).
Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich należących do dziedziny funkcji . Powyższe równości wymagają, aby wraz z do dziedziny należał również punkt , stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera:
Te dwa rodzaje funkcji nie są dychotomią, tzn. dwie własności nie wykluczają się i nie wyczerpują wszystkich funkcji: istnieją funkcje jednocześnie parzyste i nieparzyste – funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny (). To jedyne funkcje o tej parze własności Piotr Stachura, Funkcje parzyste i nieparzyste, kanał Khan Academy na YouTube, 11 stycznia 2023, 7:00 [dostęp 2026-08-05].. Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. funkcja wykładnicza ().
Funkcje parzyste Przykłady funkcji parzystych mały|Parabola – wykres kwadratu liczby rzeczywistej, czyli funkcji Jest to przykład funkcji parzystej:
funkcja potęgowa o parzystym wykładniku Justyna Biernacka, Funkcja parzysta i jej przykłady, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2026-08-05].:
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej, np.:
wartość bezwzględna:
funkcja trygonometryczna kosinus:
funkcja sinc, kosinus hiperboliczny Funkcje hiperboliczne i funkcje area [w:] Analiza matematyczna 1, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2026-08-23].:
Własności algebraiczne funkcji parzystych Niech będą funkcjami parzystymi:
Suma dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą:
Zbiór funkcji parzystych – ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę – jest przestrzenią liniową Klaudiusz Wójcik, Rozdział 9. Suma prosta [w:] Algebra liniowa z geometrią 1, Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego (IM UJ), im.uj.edu.pl [dostęp 2026-08-07].. Iloczyn oraz iloraz dwóch funkcji parzystych – tam, gdzie jest określony – jest funkcją parzystą:
Złożenie dwóch funkcji parzystych to funkcja parzysta Beata Kuna, Własności funkcji złożonych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2026-08-05].:
Inne własności funkcji parzystych Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi . Jeśli funkcja parzysta ma szereg Maclaurina, to zawiera on wyłącznie parzyste potęgi [dostęp 2026-08-05]..
Funkcje nieparzyste Przykłady funkcji nieparzystych mały|Kartezjański wykres sześcianu liczby rzeczywistej – funkcji Jest to przykład funkcji nieparzystej:
proporcjonalność prosta – szczególna funkcja liniowa:
funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku Justyna Biernacka, Funkcja nieparzysta i jej przykłady, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2026-08-05].:
wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej, np.:
niektóre funkcje trygonometryczne Sebastian Guz, Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna (ZPE), zpe.gov.pl [dostęp 2026-08-06]. – sinus, tangens i kotangens:
niektóre funkcje hiperboliczne:
funkcja signum, funkcja błędu Gaussa, funkcja Gudermanna.
Własności algebraiczne funkcji nieparzystych Niech będą funkcjami funkcjami nieparzystymi:
Suma dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.
Zbiór funkcji nieparzystych – ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę – jest przestrzenią liniową. Złożenie dwóch funkcji nieparzystych to funkcja nieparzysta Złożenie funkcji, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2026-08-07]..
Inne własności funkcji nieparzystych Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych [dostęp 2026-08-05]. Jeśli zero należy do dziedziny funkcji nieparzystej, to wartość w zerze wynosi zero:
W konsekwencji: wykres takiej funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych. Jeśli funkcja nieparzysta ma szereg Maclaurina, to zawiera on wyłącznie nieparzyste potęgi.
Związki funkcji parzystych z nieparzystymi mały|Dwie przykładowe funkcje hiperboliczne: kosinus hiperboliczny jest parzysty, a sinus hiperboliczny – nieparzysty
Związki algebraiczne Niech oznacza funkcją parzystą, – funkcją nieparzystą, a kółko niech oznacza złożenie funkcji:
Wtedy: Iloczyn oraz iloraz dwóch funkcji nieparzystych – tam, gdzie jest określony – jest funkcją parzystą:
Iloczyn funkcji parzystej z nieparzystą jest funkcją nieparzystą:
Iloraz funkcji parzystej przez nieparzystą – tam, gdzie jest określony – jest funkcją nieparzystą.
Złożenie funkcji parzystej z nieparzystą to funkcja parzysta:
Rozkład na funkcję parzystą i nieparzystą Każdą funkcję dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej gdzie dla każdego z dziedziny zachodzi Anna Barbaszewska-Wiśniowska Podstawowe własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność [w:] Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej, Open AGH – Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2026-08-06].: ,
Przykład takiego rozkładu – rozkład eksponensu na dwie funkcje hiperboliczne:
Inny przykład – wzór Eulera:
W konsekwencji: zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej to suma prosta dwóch przestrzeni – takich funkcji parzystych i takich funkcji nieparzystych:
Przypisy
Linki zewnętrzne Even function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-08-18]. Odd function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-08-18].
P