Twierdzenie Winogradowa – wynik z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadający na pytanie, na ile sposobów każdą dostatecznie dużą liczbę nieparzystą można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych. Prostym wnioskiem płynącym z twierdzenia jest fakt, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta spełnia słabą hipotezę Goldbacha.

Treść twierdzenia oraz dowód zostały sformułowane po raz pierwszy przez Iwana Winogradowa w 1937 rN. Rouse, Vinogradov’s three prime theoremhttps://math.uchicago.edu/~may/REU2013/REUPapers/Rouse.pdf, 2013 (ang.).. Hardy i Littlewood udowodnili wcześniej, że twierdzenie jest wnioskiem z uogólnionej hipotezy Riemanna, Winogradow wykazał je bezwarunkowo.

Treść twierdzenia Niech będzie pewną stałą. Niech

gdzie oznacza funkcję von Mangoldta. To znaczy, że sumuje liczbę sposobów przedstawienia jako sumy trzech potęg liczb pierwszych o wykładnikach zmodyfikowanych o pewne wagi (wynikające z postaci funkcji ). Wówczas

gdzie oznacza notację dużego O, przy czym funkcja może być przedstawiona w postaci iloczynu Eulera

Wniosek Ponieważ wartości dla nieparzystych są ograniczone przez stałą, dla dostatecznie dużych nieparzystych Pokazując, że część w której sumuje się po potęgach liczb pierwszych o wykładnikach jest rzędu można wykazać, że

gdzie oznacza notację Winogradowa. W efekcie wnioskiem płynącym z twierdzenia Winogradowa jest słabsza wersja słabej hipotezy Goldbacha.

Strategia dowodu Winogradow swój dowód oparł przede wszystkim na metodzie łuków Hardy’ego-Littlewooda. Jednakże, w odróżnieniu od szeregu potęgowego zastosowanego pierwotnie przez matematyków w kontekście problemu Waringa, Winogradow rozważa skończoną sumę eksponencjalną

gdzie jest jak wyżej, a jest pewną ustaloną stałą. Ponieważ celem jest otrzymanie sumy postaci suma podnoszona jest do potęgi trzeciej,

Oznaczając powyższe współczynniki przez dla Wystarczy zatem, że podane zostanie oszacowanie na

Skoro jest sumą trygonometryczną, jej współczynniki można wyrazić za pomocą całki

Stosując wspomnianą metodę łuków, przedział dzieli się na duże łuki (zbiory liczb o dobrych przybliżeniach wymiernych) i mniejsze łuki (pozostałe). Jako wybieramy pewną stałą, oznaczane jest także i Dla liczb zdefiniować można

oraz

– zbiór ten nazywany jest zbiorem dużych łuków. Zbiór nazywany jest zbiorem mniejszych łuków. Stosując podział

można ostatecznie uzyskać postulowaną zależność dla Konkretnie, stosując m.in. twierdzenie Siegela-Walfisza, sumy Gaussa i sumy Ramanujana, można uzyskać

gdzie jest jak wyżej, oraz

W połączeniu, z obu powyższych zależności wynika treść twierdzenia.

Przypisy

Linki zewnętrzne Vinogradov-Goldbach theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Twierdzenia teorii liczb