Iloczyn Eulera, produkt Eulera (ang. Euler product) – sposób przedstawienia szeregu liczbowego w postaci nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych. W analitycznej teorii liczb jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od Leonharda Eulera, który po raz pierwszy przedstawił go dla funkcji zeta Riemanna.
Definicja Niech będzie ograniczoną multiplikatywną funkcją arytmetyczną. Wówczas szereg Dirichleta
jest dla wszystkich takich, że równy
gdzie oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli jest całkowicie multiplikatywna, to występujące w iloczynie szeregi są geometryczne, a cały iloczyn ten jest równy
Przykłady Funkcja zeta Riemanna Niech będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako
dla dowolnej liczby zespolonej przy Wówczas
Z funkcją związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.
gdzie jest funkcją Liouville’a.
oraz
gdzie to funkcja Möbiusa.
Funkcje L Dirichleta Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech
gdzie jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module a jest dowolną liczbą zespoloną z Wtedy
Przypisy
Kategoria:Analityczna teoria liczb Kategoria:Twierdzenia o szeregach Kategoria:Analiza zespolona