Podziały metaliczneM. Baake, U. Grimm (2013) Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation. With a foreword by Roger Penrose. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1. to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego .
thumb|Prostokąt definiujący srebrny podział. Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi oraz , spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla , srebrny podział dla , brązowy podział dla i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to , Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki tego równania.
Własności Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład , , , lub .
Gdy zmierza do nieskończoności, czynnik w pierwiastku zanika i dla dużych .
Ponadto , gdzie współczynniki są definiowane rekurencyjnie przez , oraz .
Dowód Widzimy, że zależność ta jest prawdziwa dla . Definicja rekurencji implikuje . Mnożąc równanie definiujące przez mamy . Stąd . Ponadto dla wymiernych podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie.
Kąty metaliczne
Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako , co dla sprowadza się do złotego kąta (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na prowadzi do równania kwadratowego , którego pierwiastki to . W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny , jak i sumy kątów metalicznych , są zależne od , przy czym a .
Zobacz też ciąg Fibonacciego złoty podział srebrny podział złoty kąt
Przypisy
Linki zewnętrzne Metallic means , OEIS Wiki, oeis.org [dostęp 2026-02-08]. Evelyn Lamb, Meet the Metallic Means , „Scientific American”, scientificamerican.com, 21 października 2016 [dostęp 2026-02-08].