mały|Évariste Galois (1811–1832), pionier teorii grup
Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria – grupy są tworzone między innymi przez zbiory, liczby, funkcje, macierze i wektory. Poniższa lista ma kilkadziesiąt punktów, przy czym niektóre z nich są opisem nieskończonych zbiorów grup.
Grupy z dodawaniem mały|300px|Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych mały|Wektory na płaszczyźnie mogą być dodawane i odejmowane, a przez własności tych działań tworzą grupę addytywną
W tych grupach działaniem jest dodawanie. Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.
Dodawanie liczb Liczby całkowite Barbara Opozda, Małgorzata Downarowicz i Dominik Kwietniak, Algebra liniowa z geometrią analityczną, ćwiczenia 1: Grupy i ciała, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15]. liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej [dostęp 2024-09-05].; liczby wymierne liczby rzeczywiste liczby rzeczywiste postaci , gdzie liczby są wymierne: liczby zespolone liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia liczby rzeczywiste modulo jeden: Jest to przedział półotwarty liczb nieujemnych poniżej jedynki – czyli – a działaniem jest:
analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia: analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia:
Dodawanie innych obiektów Potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. itd., z dodawaniem odpowiednich elementów:
Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a – przestrzeniami kartezjańskimi; wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej; zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: itp.
Grupy z mnożeniem liczb mały|Okrąg jednostkowy na diagramie Arganda – płaszczyźnie zespolonej z kartezjańskim układem współrzędnych
W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb: niezerowe liczby wymierne jedynka i minus jedynka dodatnie liczby wymierne jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej; niezerowe liczby rzeczywiste dodatnie liczby rzeczywiste liczby rzeczywiste postaci , gdzie liczby są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: ; niezerowe liczby zespolone liczby zespolone o module jednostkowym – grupa okręgu pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki:
Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.
Grupy przekształceń mały|Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych. Taka funkcja jest elementem pewnej grupy przekształceń
W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji. Elementami takich grup są funkcje, które jednocześnie: są wzajemnie jednoznaczne (bijektywne); mają przeciwdziedzinę równą dziedzinie – są to działania jednoargumentowe:
Funkcje rzeczywiste Rzeczywiste funkcje 1. stopnia:
uogólnienie powyższych – rzeczywiste homografie:
cztery przykłady takich homografii, konkretniej proporcjonalności – dwóch prostych i dwóch odwrotnych:
Tablica Cayleya tej grupy: {| class="wikitable" |+ ! ! ! ! ! |- !
!
!
!
sześć przykładów rzeczywistych homografii:
bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których , czyli jedynka jest punktem stałym; por. stabilizator; bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, dla których – obrazem zbioru liczb wymiernych jest on sam; por. zbiór niezmienniczy; bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są rosnące; bijekcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, które są ściśle monotoniczne.
Inne funkcje mały|Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii i zachowuje ustawienie przy trzech obrotach wokół środka – o 120°, 240° i 360°. Dlatego mówi się, że jego grupa diedralna ma 6 elementów. Jest ona izomorficzna z trzecią grupą permutacji [dostęp 2024-09-05].:
Grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną gdzie to dowolny zbiór; grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze to inny przykład grupy trywialnej; grupa izometrii płaszczyzny euklidesowej: grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego: pełne grupy liniowe – grupy wszystkich izomorfizmów liniowych ustalonej przestrzeni liniowej: gdzie a to dowolne ciało Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), waznika.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].. Inne znaczenie terminu pełna grupa liniowa, związane z macierzami kwadratowymi, podano niżej.
Grupy z mnożeniem macierzy Macierze kwadratowe: odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała i ustalonego wymiaru – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 5: Macierze, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2024-12-15].: Inne znaczenie tej nazwy podano wyżej; postaci: postaci: postaci:
Inne grupy mały|Diagram Venna dla – różnica symetryczna zbiorów jest oznaczona fioletowo
Grupy są też tworzone przez działania dwuargumentowe inne niż dodawanie, mnożenie liczb, złożenie funkcji czy mnożenie macierzy.
Grupy liczb Liczby całkowite z działaniem: liczby wymierne bez jedynki z działaniem: przedział otwarty z działaniem:
Grupy innych obiektów Podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej: gdzie: to dowolny zbiór; – jego zbiór potęgowy; to różnica symetryczna: Jeśli jest dowolną grupą, a – dowolnym zbiorem, to grupą jest też zbiór wszystkich funkcji na tym zbiorze i o wartościach w tej grupie, z odpowiednim działaniem na tych funkcjach:
Jeśli jednocześnie: jest dowolną grupą; jest dowolną bijekcją na zbiorze działanie dwuargumentowe jest zdefiniowane wzorem
to jest grupą.
Zobacz też Grupa czwórkowa Kleina Grupa modularna Grupa obrotów Grupa SO(2) Symetria unitarna Specjalna grupa unitarna Grupa SU(2) Grupa kwaternionów Grupa Galileusza Grupa Poincarégo Grupa Lorentza Grupa Heisenberga Grupa Mathieu Grupa monstrum Grupa Prüfera
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przykłady grup