link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Lattice_torsion_points.svg|prawo|mały|Podstawową dziedziną funkcji eliptycznej jest równoległobok okresowości zawarty w jej siatce okresowej. Funkcje eliptyczne Weierstrassa (funkcje ) to ważna klasa funkcji eliptycznych, które mają fundamentalne znaczenie w wielu obszarach matematyki, takich jak geometria algebraiczna, teoria liczb i teoria równań różniczkowych. Funkcje te są zdefiniowane jako podwójnie okresowe funkcje zespolone, co oznacza, że są okresowe względem dwóch niezależnych kierunków na płaszczyźnie zespolonej. Funkcje tej klasy nazywa się także -funkcjami, gdzie symbol jest wyjątkowo fantazyjną literą p.
Funkcje te zostały wprowadzone przez Karla Weierstrassa.
Definicja funkcji eliptycznej Weierstrassa link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Torus_from_rectangle.gif|mały|Równoległobok, którego przeciwległe boki są zidentyfikowane Funkcja eliptyczna Weierstrassa jest zdefiniowana przy użyciu rozkładu na ułamki proste za pomocą sumy nieskończonej:
gdzie: to zmienna zespolona i to dwie ustalone liczby zespolone takie że ; nadają funkcji dwa niezależne okresy to kratka (ang. lattice), czyli zbiór punktów postaci , gdzie (są to liczby całkowite) czyli sumowanie przebiega po wszystkich parach liczb całkowitych z wyjątkiem punktu .
Własności p-funkcji mały|Funkcja eliptyczna Weierstrassa z widocznymi periodycznymi zmianami i siecią . Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji. (1) Parzystość (podwójna):
(2) Podwójna okresowość: Funkcja ma dwa niezależne okresy i , co oznacza, że:
dla dowolnych liczb zespolonych .
(3) Bieguny: Funkcja ma bieguny rzędu 2 w punkcie oraz w punktach przesuniętych o okresy (tj. dla ). mały|Funkcja - pochodna funkcji - ma identyczną periodyczność. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji. (4) Równanie różniczkowe: Funkcja spełnia równanie różniczkowe:
gdzie:
Parametry i zależą od okresów i ; nazywa się je niezmiennikami Weierstrassa. Słuszna jest zależność
gdzie
Rozwinięcia w szeregi link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Weierstrass_elliptic_function_P.png|mały|Wizualizacja funkcji z niezmiennikami oraz. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji. Funkcja Weierstrassa można dla przedstawić w postaci szeregów zależnych od i
gdzie: , dla
gdzie
Funkcja odwrotna do p-funkcji Funkcją odwrotną do funkcji Weierstrassa jest całka eliptyczna Weierstrassa pierwszego rodzaju, o parametrach , dana wzorem
Przy tym punkty oraz są punktami rozgałęzienia tej funkcji odwrotnej.
Inne funkcje powiązane z p-funkcją Pochodna funkcji Weierstrassa: , która jest również funkcją eliptyczną, ale ma biegun rzędu 3 w punkcie . Niezmienniki: i są stałymi zależnymi od okresów kratki i pełnią ważną rolę w analizie funkcji eliptycznych.
Twierdzenie (o tworzeniu funkcji eliptycznych) Tw. Każda funkcja eliptyczna o okresach i może być utworzona z funkcji oraz w postaci
gdzie są funkcjami wymiernymi, a funkcja jest funkcją eliptyczną nieparzystą rzędu 3
Powiązanie z krzywymi eliptycznymi Funkcja jest związana z krzywymi eliptycznymi. Równanie różniczkowe dla można traktować jako równanie krzywej eliptycznej w postaci:
Tutaj odgrywa rolę zmiennej , a odpowiada .
Zastosowania funkcji eliptycznych Weierstrassa w teorii krzywych eliptycznych i geometrii algebraicznej. w teorii równań różniczkowych (szczególnie w rozwiązaniach równań nieliniowych, takich jak równanie Kortewega–de Vriesa). w matematyce teoretycznej, np. w teorii liczb i analizie zespolonej.
Zobacz też funkcje eliptyczne funkcje eliptyczne Jacobiego całki eliptyczne
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-03].