Macierz projekcji (często nazywana także macierzą daszkową lub macierzą kapeluszową, z ang. hat matrix) – macierz odwzorowująca wektor obserwowanych wartości zmiennych objaśnianych na wektor wartości dopasowanych (przewidywanych przez model statystyczny). Macierz projekcji określa, w jakim stopniu poszczególne obserwacje wpływają na wyznaczenie każdej z wartości dopasowanych.
Elementy diagonalne (znajdujące się na głównej przekątnej) macierzy projekcji określa się mianem dźwigni (ang. leverage). Opisują one wpływ, jaki dana wartość obserwowana wywiera na odpowiadającą jej wartość przewidywaną dla tej samej obserwacji. Obserwacje o wysokiej dźwigni mogą w istotny sposób oddziaływać na wyniki regresji, dlatego ich identyfikacja stanowi ważny element diagnostyki modelu.
Definicja Niech oznacza wektor wartości zmiennej objaśnianej, a – wektor wartości dopasowanych. Zachodzi wówczas zależność
Ponieważ daszek nad jest po angielsku nazywany potocznie kapeluszem (lub czapeczką, ang. ), macierz projekcji nazywana jest również , macierzą kapeluszową , ponieważ jej zastosowanie „nakłada kapelusz” na .
Metoda najmniejszych kwadratów W modelu regresji liniowej, przy założeniu jednakowych wag obserwacji oraz nieskorelowanych błędów, estymator współczynników regresji otrzymany metodą najmniejszych kwadratów ma postać
.
Wektor wartości dopasowanych wyraża się wzorem
.
Macierz projekcji ma zatem postać
.
Przypisy
Kategoria:Macierze Kategoria:Analiza regresji