Wielomian HOMFLY-PT (uogólniony wielomian Jonesa) jest wielomianowym niezmiennikiem węzłów dwóch zmiennych m oraz l. Jego nazwa pochodzi od inicjałów współodkrywców pracujących w czterech niezależnych zespołach: Raymonda Lickorisha i Kennetha Milletta, Jima Hoste'a, Adriana Ocneanu oraz Petera Freyda i Davida Yettera. Niezależnie znaleźli go także jesienią 1984 roku Józef Przytycki i Paweł Traczyk.
Inne spotykane określenia to FLYP-MOTH, HOMFLY, uogólniony wielomian Jonesa, wielomian Jonesa dwóch zmiennych, skręcony wielomian Alexandera czy też skein-wielomian.
Definicja Wielomian definiuje się przy pomocy relacji motkowej:
gdzie oznacza sploty różniące się jedynie na małym obszarze wokół ustalonego skrzyżowania na diagramie splotu, tak jak pokazano na rysunku: centruj|200x200px
Alternatywne definicje Równoważny wielomian można otrzymać przy pomocy innych relacji motkowych:
(czasami zamiast w literaturze stosuje się również zmienną lub ) albo:
Znany jest wtedy jako jednorodny wielomian HOMFLY-PT.
Własności Wielomian Jonesa, oraz wielomian Alexandera, są szczególnymi przypadkami wielomianu HOMFLY. Są wynikiem podstawień:
Wielomian HOMFLY-PT jest mocniejszy od wielomianów Jonesa i Alexandera, ponieważ wykrywa chiralność węzła (węzeł chiralny nie jest równoważny swemu lustrzanemu odbiciu). Istnieją jednak pary różnych węzłów, których wielomian ten nie odróżnia: dowolne dwa mutanty, i , i , i czy też i . Wielomian HOMFLY-PT nie odróżnia enancjomerów węzłów , , , , oraz .
Kanenobu pokazał, że istnieje przeliczalna rodzina węzłów o genusie 2 taka, że każdy węzeł jest hiperboliczny, taśmowy, rozwłókniony oraz trzymostowy. Każdemu z tych węzłów odpowiada ten sam wielomian HOMFLY-PT.
Niech oznacza sumę spójną, zaś sumę niespójną. Wtedy wielomian HOMFLY węzła złożonego jest iloczynem wielomianów HOMFLY jego składowych:
Zachodzi również:
Przypisy
Kategoria:Rodzaje wielomianów Kategoria:Teoria węzłów