Iloczyn iterowany – iterowana operacja mnożenia ciągu elementów, której wynikiem jest iloczyn. Jeśli elementy są mnożone kolejno od lewej do prawej, to pośrednie wyniki nazywa się iloczynami częściowymi lub cząstkowymi. Mnożone elementy (zwane czynnikami) mogą być całkowite, rzeczywiste lub zespolone. Oprócz liczb iloczynowi iterowanemu mogą podlegać również inne obiekty matematyczne, takie jak macierze, wielomiany, funkcje lub ogólnie elementy monoidu wyposażonego w działanie mnożenia. Dla ciągów o skończonej liczbie elementów iloczyn iterowany zawsze zwraca dobrze określony wynik.
Wykonanie iloczynu iterowanego ciągów nieskończonych nie zawsze jest możliwe, a gdy wartość nieskończonego iloczynu może być określona, obejmuje ona więcej niż zwykłą operację mnożenia, mianowicie pojęcie granicy. Iloczynowanie nieskończonych ciągów prowadzi do konstrukcji zwanej nieskończonym iloczynem.
Wyróżniamy dwa rodzaje iloczynu: iloczyn skończony i iloczyn nieskończony.
Zapis Duża litera Π W zapisie matematycznym do przedstawiania w zwarty sposób iloczynu iterowanego wielu podobnych czynników stosuje się symbol iloczynu , wywodzący się z wielkiej greckiej litery pi. Reprezentuje on wielokrotne zastosowanie dwuargumentowego działania iteracyjnego. Jest on zdefiniowany jako:
,
gdzie oznacza indeks iloczynu, reprezentuje każdy kolejny czynnik, jest dolną granicą iloczynu, a jest górną granicą iloczynu oraz .
Przykład:
.
Podobnie jak w przypadku sumowania, spotyka się bardziej ogólne zapisy:
,
oznacza iloczyn wszystkich wartości dla całkowitych spełniających podany warunek.
,
oznacza iloczyn wartości dla wszystkich elementów zbioru .
Możliwe jest także stosowanie wielu symboli iloczynu:
lub równoważnie
. Iloczyn skończony Iloczyn skończony jest wynikiem pomnożenia skończonej liczby czynników. Jeżeli ciąg zawiera elementów , to jego iloczyn jest określony wzorem .
W przypadku iloczynów skończonych wynik jest zawsze dobrze określony, o ile działanie mnożenia jest zdefiniowane dla rozważanych elementów. Jeżeli mnożenie jest łączne, sposób grupowania czynników nie wpływa na wynik. Jeżeli jest również przemienne (np. dla liczb rzeczywistych lub zespolonych), to także kolejność czynników nie zmienia wartości iloczynu.
Iloczyn nieskończony
Iloczyn nieskończony jest formalnym iloczynem kolejnych wyrazów danego ciągu liczbowego. Dla ciągu zapisuje się go w postaci .
Aby określić wartość iloczynu nieskończonego, rozważa się iloczyny częściowe ,
czyli iloczyny pierwszych wyrazów iloczynu nieskończonego. Następnie bada się granicę ciągu iloczynów częściowych .
Jeżeli granica istnieje i jest skończona oraz różna od zera, to iloczyn nieskończony nazywa się zbieżnym, a wartość granicy jest jego iloczynem. W przeciwnym razie iloczyn jest rozbieżny i w klasycznym sensie nie posiada wartości.
Przykładem iloczynu zbieżnego jest iloczyn Eulera , gdzie oznacza kolejne liczby pierwsze.
Natomiast iloczyn
jest rozbieżny, ponieważ jego iloczyny częściowe mają postać ,
a więc dążą do nieskończoności.
Przypadki szczególne Możliwy jest iloczyn mniej niż dwóch czynników: jeśli mnożony jest tylko jeden czynnik , to wynikiem jest , jeśli mnożony jest pusty zbiór czynników, to wynikiem jest , ponieważ jest elementem neutralnym mnożenia - jest to tzw. pusty iloczyn.
Takie przypadki mogą pojawić się przy stosowaniu symbolu iloczynu. Jeśli , iloczyn zawiera dokładnie jeden czynnik, natomiast jeśli , iloczyn jest pusty i jego wartość wynosi .
Tożsamości Poniższe wzory dotyczą iloczynów skończonych.
(silnia) (silnia podwójna) (silnia wielokrotna)
(symbol Newtona) (iloczyn teleskopowy)
Przypisy
Kategoria:Działania arytmetyczne