Zakres numeryczny – także obraz numeryczny – operatora liniowego na zespolonej przestrzeni Hilberta to zbiór wartości postaci gdzie przebiega wektory jednostkowe. W przypadku macierzy zespolonej zakres numeryczny definiuje się równoważnie wzorem
Pojęcie to jest podstawowym narzędziem teorii operatorów, teorii macierzy i analizy numerycznej. W literaturze anglojęzycznej występuje pod nazwami numerical range oraz field of values.
Definicja Niech będzie zespoloną przestrzenią Hilberta, a ograniczonym operatorem liniowym na Zakresem numerycznym operatora nazywa się zbiór .
Dla macierzy działającej na ze standardowym iloczynem skalarnym, definicja przyjmuje postać
gdzie oznacza sprzężone transponowanie wektora .
Z zakresem numerycznym związany jest promień numeryczny operatora, zdefiniowany jako
W skończonym wymiarze supremum można zastąpić maksimum, ponieważ sfera jednostkowa jest zwarta, a funkcja jest ciągła.
Nazewnictwo W polskich źródłach spotyka się zarówno nazwę „zakres numeryczny”, jak i „obraz numeryczny”. W opisie seminarium na Uniwersytecie Warszawskim pojęcie numerical range występuje jako „zakres numeryczny” macierzy. W autoreferacie Jacka Jurkowskiego z Uniwersytetu Mikołaja Kopernika używana jest też nazwa „lokalny zakres numeryczny operatora”.
Nazwa „obraz numeryczny” jest również używana. W programie studiów Uniwersytetu Jagiellońskiego pojawia się przedmiot „Numerical range of matrix (Obraz numeryczny macierzy)”, a w repozytorium UJ odnotowano pracę pod tytułem Obraz Numeryczny z tytułem alternatywnym Numerical Range.
Podstawowe własności Zakres numeryczny niepustego operatora jest zbiorem niepustym i ograniczonym. Dla operatora ograniczonego zachodzi bowiem
dla każdego wektora jednostkowego a więc jest zawarty w domkniętym dysku o środku w zerze i promieniu .
Dla dowolnych zachodzi
Ponadto zakres numeryczny jest niezmienniczy ze względu na podobieństwo unitarne:
dla każdego operatora unitarnego Dla operatora sprzężonego zachodzi
Jednym z najważniejszych faktów jest twierdzenie Toeplitza-Hausdorffa, zgodnie z którym zakres numeryczny każdego operatora na zespolonej przestrzeni Hilberta jest zbiorem wypukłym. W skończonym wymiarze jest ponadto zbiorem zwartym. W nieskończonym wymiarze zakres numeryczny nie musi być domknięty, ale jego domknięcie pozostaje zbiorem wypukłym.
Widmo operatora jest zawarte w domknięciu jego zakresu numerycznego:
W przypadku macierzy każda wartość własna należy do zakresu numerycznego: jeśli oraz to
Promień numeryczny jest normą równoważną normie operatorowej. Dla każdego operatora ograniczonego zachodzą nierówności
Przypadki szczególne Jeżeli jest macierzą samosprzężoną, to jest odcinkiem rzeczywistym. Dokładniej, dla macierzy hermitowskiej o najmniejszej i największej wartości własnej odpowiednio i zachodzi
Jeżeli jest macierzą normalną, to jej zakres numeryczny jest otoczką wypukłą widma:
W szczególności dla macierzy diagonalnej zakres numeryczny jest wielokątem wypukłym lub odcinkiem, którego wierzchołki leżą wśród wartości własnych.
Dla macierzy zachodzi tzw. twierdzenie o eliptycznym zakresie numerycznym: zakres numeryczny jest domkniętym dyskiem eliptycznym, którego ogniskami są wartości własne macierzy; w przypadku zdegenerowanym elipsa redukuje się do odcinka albo punktu.
Przykładem jest nilpotentna macierz
Dla wektora jednostkowego zachodzi stąd
W tym przykładzie natomiast co pokazuje ostrość nierówności
Związki z rachunkiem funkcyjnym Zakres numeryczny dostarcza informacji o normach funkcji od macierzy i operatorów. W tym kontekście szczególnie ważna jest hipoteza Crouzeixa, według której dla każdej macierzy zespolonej i każdego wielomianu powinna zachodzić nierówność
Stałej nie można w ogólności poprawić. Znany wynik Crouzeixa i Palencii mówi, że zakres numeryczny jest -spektralnym zbiorem dla operatora, tzn. zachodzi odpowiednie oszacowanie ze stałą .
Uogólnienia i zastosowania Jednym z uogólnień jest łączny zakres numeryczny rodziny operatorów lub macierzy. Dla macierzy definiuje się go zwykle jako zbiór
W literaturze występują także lokalny zakres numeryczny, zakres numeryczny wyższego rzędu oraz warianty związane z układami złożonymi w informatyce kwantowej.
Zakres numeryczny jest wykorzystywany między innymi w analizie stabilności macierzy, w badaniu operatorów nienormalnych, w oszacowaniach dla metod Kryłowa, w szczególności metody GMRES, oraz w zagadnieniach związanych z funkcjami macierzy.
Zobacz też promień numeryczny widmo operatora macierz normalna macierz hermitowska hipoteza Crouzeixa GMRES
Przypisy
Linki zewnętrzne Opis referatu „Zakres numeryczny macierzy losowych” na stronie MIMUW Opis pracy „Obraz Numeryczny” w Repozytorium Uniwersytetu Jagiellońskiego
Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Algebra liniowa Kategoria:Metody numeryczne