thumb|Diagram Eulera ilustrujący, że zbiór „zwierząt czworonożnych” jest podzbiorem „zwierząt”, natomiast zbiór „minerałów” jest rozłączny ze zbiorem „zwierząt” (nie ma z nim wspólnych elementów)

Diagram Eulera – sposób graficznego przedstawiania zbiorów i zależności między nimi za pomocą zamkniętych figur, które mogą się przecinać, zawierać jedna w drugiej lub pozostawać rozłączne. Diagramy te są szczególnie przydatne do objaśniania złożonych hierarchii i częściowo pokrywających się kategorii. Są podobne do innej techniki obrazowania zbiorów – diagramów Venna. W odróżnieniu od diagramów Venna, które pokazują wszystkie możliwe zależności między zbiorami, diagram Eulera przedstawia tylko zależności istotne dla danego zagadnienia.

Nazwa diagramów pochodzi od szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera (1707–1783), który jest jednak jedynie ich patronem, a nie wynalazcą. Diagramy Eulera powstały najpierw na potrzeby logiki, zwłaszcza sylogistyki (teorii sylogizmów – schematów wnioskowania z dwóch przesłanek), a dopiero później zaczęto je stosować w teorii mnogości.

Budowa i działanie thumb|Diagram Eulera przedstawiający zależności między różnymi obiektami Układu Słonecznego Diagram Eulera składa się z prostych krzywych zamkniętych (czyli krzywych bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, z których każda odpowiada pewnemu zbiorowi lub kategorii. Wzajemne położenie figur obrazuje zależności między zbiorami. Każda krzywa dzieli płaszczyznę na dwa obszary, zwane „strefami”: wnętrze, symbolizujące elementy zbioru, oraz zewnętrze, odpowiadające wszystkim elementom do niego nienależącym.

Krzywe, które na siebie nie zachodzą, przedstawiają zbiory rozłączne, czyli niemające wspólnych elementów. Dwie zachodzące na siebie krzywe odpowiadają zbiorom, które się przecinają, to znaczy mają elementy wspólne. Obszar leżący wewnątrz obu krzywych reprezentuje część wspólną obu zbiorów. Krzywa zawarta w całości we wnętrzu innej oznacza, że odpowiadający jej zbiór jest podzbiorem drugiego zbioru.

+ Podstawowe układy figur i odpowiadające im relacje między zbiorami Układ figur Relacja zbiorów figury rozłączne zbiory rozłączne figury przecinające się część wspólna (przecięcie) jedna figura w całości wewnątrz drugiej podzbiór

Diagramy Venna to odmiana diagramów Eulera podlegająca bardziej rygorystycznym warunkom. Diagram Venna musi zawierać wszystkie możliwe strefy wyznaczone przez jego n krzywych – po jednej dla każdej kombinacji przynależności i nieprzynależności do tworzących go zbiorów. W diagramach Venna puste strefy zaznacza się cieniowaniem, zwykle czernią. W diagramach Eulera pustość zbioru może wyrażać już sam brak odpowiedniej strefy.

Historia Diagramy przypominające diagramy Eulera i pełniące podobne funkcje istniały zapewne od dawna. Ich dokładne datowanie jest jednak możliwe dopiero od czasu wynalezienia prasy drukarskiej.

Przed Eulerem Pierwszymi autorami, którzy opublikowali drukiem diagramy w stylu Eulera i krótko je omówili, byli Juan Luis Vives (w 1531), Nicolaus Reimers (w 1589), Bartłomiej Keckermann (w 1601) oraz (w 1614). Pierwsze szczegółowe opracowanie tych diagramów przypisuje się (1625–1699), który nazywał ten rodzaj diagramu (przyrządem do mierzenia logiki). Weigel jako pierwszy wykorzystał figury na płaszczyźnie do wykazania poprawności wszystkich prawidłowych form sylogizmu. Dla sądów ogólnotwierdzących, czyli zdań typu „wszystkie A są B”, figura podmiotu powinna leżeć w całości wewnątrz figury orzecznika. Dla sądów przeczących, typu „żaden A nie jest B”, figury powinny być rozłączne. Dla sądów szczegółowych, typu „niektóre A są B”, figury powinny się częściowo przecinać. Aby sprawdzić poprawność sylogizmu, należy najpierw narysować wszystkie możliwe figury odpowiadające przesłankom, a następnie ustalić, czy da się z nich odczytać także wniosek.

Erhard Weigel posługiwał się w diagramach inicjałami, podczas gdy jego uczniowie, tacy jak (1635–1703) oraz Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), używali okręgów lub linii. Inna tradycja wywodzi się od (1642–1708), który miał stosować te diagramy w nauczaniu. Wspominali o tym jego uczniowie Samuel Großer i Johann Christian Lange. Zwłaszcza Lange rozszerzył zastosowanie tych diagramów poza sylogistykę, posługując się nimi między innymi w analizie kwantyfikowanych orzeczników.

Euler i czasy po nim W Euler skupił się wyłącznie na tradycyjnej sylogistyce. Nie tylko sprawdzał on poprawność sylogizmów, lecz także opracował metodę wyciągania wniosków z przesłanek. Równocześnie z Eulerem podobnymi diagramami posługiwali się oraz Johann Heinrich Lambert. Diagramy zyskały jednak szerszą popularność dopiero w latach 90. XVIII wieku za sprawą Immanuela Kanta (1724–1804), który wykorzystywał je w wykładach z logiki. Jego uczniowie rozpowszechnili wiedzę o nich w całej Europie. W XIX wieku diagramy Eulera stały się najpowszechniej stosowaną formą reprezentacji w logice, zwłaszcza wśród „kantystów”, takich jak Arthur Schopenhauer, Karl Christian Friedrich Krause czy William Hamilton. Schemat Eulera miał jednak ograniczenie, bo figury nie odpowiadały jednoznacznie zdaniom. Tradycyjna logika znała cztery rodzaje zdań kategorycznych (A, E, I, O). Tymczasem Joseph Gergonne wykazał w 1817 roku, że między dwiema klasami może zachodzić pięć relacji. Pierwsza klasa może zawierać się ściśle w drugiej albo odwrotnie, obie mogą się całkowicie pokrywać, być całkowicie rozłączne albo częściowo na siebie zachodzić. Relacje te nazywa się dziś relacjami Gergonne’a.

thumb|Strona z Hamiltona. Symbole A, E, I i O odnoszą się do czterech rodzajów sądów kategorycznych występujących w sylogizmie

Historia tych diagramów była wówczas zbadana tylko częściowo. Większość logików przypisywała więc ich autorstwo Eulerowi, co prowadziło do licznych nieporozumień. Część z nich utrzymuje się do dziś. William Hamilton błędnie twierdził, że pierwszym, który użył okręgów do „uzmysłowienia… abstrakcji logiki”, był nie Euler, lecz Weise. W rzeczywistości jednak książkę przypisywaną Weisemu napisał Johann Christian Lange, a nie Weise.

W epoce Venna John Venn (1834–1923) zwracał uwagę na uderzającą popularność diagramu Eulera. Stwierdził, że spośród pierwszych sześćdziesięciu przejrzanych przez niego traktatów logicznych aż trzydzieści cztery korzystały z diagramów, niemal zawsze ze „schematu eulerowskiego”. Mimo to zarzucał temu schematowi „niezdatność do celów logiki naprawdę ogólnej” i zauważał, że „pasuje on, lecz źle, nawet do czterech sądów logiki potocznej, do których zwykle bywa stosowany”.

Venn sformułował przy tym kluczowy zarzut: w ilustracji Hamiltona sądy O (szczegółowo-przeczący) oraz I (szczegółowo-twierdzący) są jedynie wzajemnie obrócone, a ten sam diagram bywa używany do przedstawienia obu, „co czyni równie niedoskonale”. Na tej podstawie Venn przedstawił sposób przejścia od „staromodnych diagramów Eulera” do konstrukcji, które później nazwano diagramami Venna.

Do 1914 roku Louis Couturat (1868–1914) opatrzył etykietami obszary diagramu, w tym obszar zewnętrzny. Zwięźle wyjaśnił, jak posługiwać się diagramem: aby uzyskać wynik, należy „wykreślić (przez zacieniowanie)” te obszary, które mają zniknąć na mocy danych zadania. Współcześnie diagram Venna umieszcza się w „ramce” otaczającej wszystkie okręgi, zwanej uniwersum lub dziedziną rozważań.

Couturat zauważył, że w sposób bezpośredni i algorytmiczny nie da się z takiego diagramu wyprowadzić uproszczonych równań algebry Boole’a ani odczytać wniosku. Stwierdził, że metoda ta „ma… poważne niedogodności jako sposób rozwiązywania zagadnień logicznych”, ponieważ pokazuje tylko jeden krok rozumowania – samo równanie zadania. Istotny postęp nastąpił w latach 1952–1953, gdy zaproponował nową metodę, którą Maurice Karnaugh (1924–2022) następnie zaadaptował i rozwinął. Prace te opierały się na metodzie tablic prawdy, ściśle zdefiniowanej przez Emila Posta, oraz na zastosowaniu rachunku zdań do logiki przełączającej, które rozwijali między innymi Claude Shannon, George Stibitz i Alan Turing.

Współczesne zastosowania W Stanach Zjednoczonych diagramy Venna i Eulera weszły do nauczania teorii mnogości w ramach ruchu „nowej matematyki” lat 60. XX wieku, a później także do innych obszarów dydaktyki, na przykład nauki czytania ze zrozumieniem. W latach 90. XX wieku diagramy Eulera rozwinięto w system logiczny. Badania nad reprezentacjami graficznymi wskazywały także na ich zalety poznawcze. Z czasem ich zastosowania wykroczyły poza przedstawianie zbiorów. Diagramy zaczęto wykorzystywać także w informatyce (w tym w sztucznej inteligencji i inżynierii oprogramowania), naukach biologicznych, medycynie, ekonomii i statystyce. Przedmiotem badań stały się również ich aspekty filozoficzne i historia. W 2000 roku zapoczątkowano serię konferencji , poświęconych między innymi bieżącym badaniom nad diagramami Eulera.

Relacja między diagramami Eulera a Venna thumb|Przykłady małych diagramów Venna (po lewej) i ich przekształcenia w równoważne diagramy Eulera (po prawej). Czarne obszary oznaczają zbiory puste, a obszary zaznaczone na czerwono z symbolem „×” – zbiory niepuste

Gdy liczba zbiorów przekracza trzy, diagram Venna staje się coraz trudniejszy do odczytania, zwłaszcza w porównaniu z odpowiadającym mu diagramem Eulera. Różnicę między nimi dobrze widać na przykładzie trzech zbiorów:

Na diagramie Eulera zbiory B i C są rozłączne, więc odpowiadające im krzywe się nie przecinają, natomiast diagram Venna i tak pokazuje wszystkie strefy nakładania, zaznaczając czernią te, które są puste. Na budowę diagramu często nakłada się dodatkowe warunki poprawności – ograniczenia topologiczne lub geometryczne (np. wymóg spójności stref albo zakaz stycznego przecinania się krzywych). Nie każdy diagram Venna z cieniowaniem da się przekształcić w diagram Eulera bez cieniowania. Dla dziewięciu zbiorów istnieją diagramy Eulera, których nie da się narysować prostymi krzywymi zamkniętymi bez powstania zbędnych stref.

Przykład: od diagramu Eulera do tablicy Karnaugha thumb|Diagram Veitcha i tablica Karnaugha pokazują wszystkie mintermy; widoczne jest silne podobieństwo między diagramem Venna a tablicą Karnaugha Poprawność wniosku „żaden X nie jest Z” wyprowadzonego z przesłanek „żaden Y nie jest Z” i „każdy X jest Y” można sprawdzić tablicą prawdy. Przesłanki zapisuje się jako formułę rachunku zdań, łącząc ją z proponowanym wnioskiem za pomocą implikacji (P → Q, czytane „jeżeli P, to Q”). Jeśli kolumna odpowiadająca implikacji zawiera wyłącznie jedynki, formuła jest tautologią (zdaniem zawsze prawdziwym), a wniosek jest poprawny.

W zapisie symbolicznym przykładu stosuje się następujące oznaczenia: – wartość logiczna „prawda”, – „fałsz”; apostrof lub – negacja (x′ czytamy „nie-x”); – koniunkcja („i”); w zapisie mintermu jej symbol pomija się, zapisując zmienne obok siebie (x′y′z znaczy „nie-x i nie-y i z”); – implikacja („jeżeli… to…”).

Dla dowolnego elementu rozpatrywanego uniwersum niech x, y i z oznaczają odpowiednio, czy element ten należy do zbiorów X, Y i Z. Przesłanki można wtedy zapisać jako formułę a proponowany wniosek jako Sprawdza się więc implikację P → Q:

+ Tablica prawdy dowodząca, że formuła P → Q jest tautologią (same jedynki w kolumnie głównej implikacji) nr strefa Venna/Karnaugha x y z P = ¬(y∧z) ∧ (x→y) Q = ¬(x∧z) P → Q 0 x′y′z′ 0 0 0 1 1 1 1 x′y′z 0 0 1 1 1 1 2 x′yz′ 0 1 0 1 1 1 3 x′yz 0 1 1 0 1 1 4 xy′z′ 1 0 0 0 1 1 5 xy′z 1 0 1 0 0 1 6 xyz′ 1 1 0 1 1 1 7 xyz 1 1 1 0 0 1