Paradoks Rossa-Littlewooda

thumb|Wykres przedstawiający liczbę kul znajdujących się w wazonie oraz usuniętych z niego podczas pierwszych dziesięciu iteracji problemu.

Paradoks Rossa-Littlewooda (znany również jako problem kul i wazonu lub problem piłeczek pingpongowych) – hipotetyczny problem z zakresu matematyki abstrakcyjnej i logiki, mający zilustrować paradoksalną lub co najmniej nieintuicyjną naturę nieskończoności. Problem ilustruje trudności związane z pojęciem , czyli procesu, w którym wykonuje się nieskończenie wiele następujących po sobie czynności.

Problem został po raz pierwszy opisany przez matematyka Johna E. Littlewooda w wydanej w 1953 roku książce Littlewood's Miscellany.

Sformułowanie problemu

Problem rozpoczyna się od pustego wazonu oraz nieskończonego zapasu kul. Następnie wykonywana jest nieskończona liczba kroków. W każdym kroku do wazonu wkłada się kul, a następnie wyjmuje z niego kulę.

Powstaje pytanie:

Ile kul znajduje się w wazonie po zakończeniu całego procesu?.

Aby umożliwić wykonanie nieskończenie wielu kroków, przyjmuje się, że wazon jest pusty na minutę przed południem, a kolejne kroki wykonywane są w następujących momentach:

pierwszy krok wykonywany jest 30 sekund przed południem, drugi krok wykonywany jest 15 sekund przed południem, każdy kolejny krok wykonywany jest w połowie czasu pozostałego do południa w porównaniu z poprzednim krokiem.

W szczególności krok o numerze wykonywany jest minut przed południem. Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi krokami jest za każdym razem o połowę krótszy, nieskończenie wiele kroków zostaje wykonanych w ciągu jednej minuty. Powstaje więc pytanie:

Ile kul znajduje się w wazonie dokładnie w południe?.

Możliwe rozwiązania

Istnieje kilka różnych odpowiedzi na ten problem. Różnią się one między innymi sposobem rozumienia stanu układu po wykonaniu nieskończonej liczby operacji.

W wazonie znajduje się nieskończenie wiele kul

Najbardziej intuicyjna odpowiedź mówi, że w południe w wazonie znajduje się nieskończenie wiele kul. W każdym kroku do wazonu trafia kul, a usuwana jest tylko . Jeżeli przed rozpoczęciem procesu wazon jest pusty, to po pierwszym kroku znajduje się w nim kul. Po drugim kroku: kul. Po krokach liczba kul wynosi zatem . W każdym skończonym momencie liczba kul jest więc skończona, ale rośnie bez ograniczenia . Z tego punktu widzenia można uznać, że w wazonie w południe znajduje się nieskończenie wiele kul.

Wazon jest pusty

Rozważmy jednak inny sposób wykonywania operacji. Ponumerujmy wszystkie kule. W pierwszym kroku wkładamy do wazonu kule o numerach od do , a następnie wyjmujemy kulę numer . W drugim kroku wkładamy kule o numerach od do , a następnie wyjmujemy kulę numer . W trzecim kroku wkładamy kule o numerach od do , a następnie wyjmujemy kulę numer . Ogólnie w kroku n wkładane są kule o numerach od do , a następnie usuwana jest kula numer . W takim przypadku każda kula, która kiedykolwiek została włożona do wazonu, zostanie ostatecznie usunięta. Kula numer zostaje bowiem usunięta w kroku . W konsekwencji można argumentować, że w południe kul pozostaje w wazonie.

Sheldon Ross rozważał również probabilistyczną wersję problemu. Zamiast z góry określać, która kula zostanie usunięta, przy każdym kroku wybierana jest losowo jedna z kul znajdujących się w wazonie. W tym przypadku można wykazać, że prawdopodobieństwo pozostania w wazonie dowolnej konkretnej kuli w południe wynosi . Ponieważ kul jest przeliczalnie wiele, wykorzystując nierówność Boole'a można następnie wykazać, że prawdopodobieństwo, iż w południe wazon będzie pusty, wynosi . Nie oznacza to jednak, że każda możliwa realizacja procesu musi być identyczna. Jest to stwierdzenie probabilistyczne: zdarzenie polegające na pozostaniu jakiejkolwiek kuli ma prawdopodobieństwo równe zero.

Wynik zależy od sposobu usuwania kul

Można również skonstruować procedury, w których w południe pozostaje dowolnie wybrana, skończona liczba kul albo nieskończenie wiele kul. Przykładowo, jeśli w pierwszym kroku usunięta zostanie kula numer , w drugim kula numer , w trzecim kula numer itd., wówczas pozostaną wszystkie kule, których numery nie są wielokrotnościami . Jest ich nieskończenie wiele. Możliwe jest również skonstruowanie procedury, w której pozostanie dokładnie kul, dla dowolnej liczby całkowitej . Niech oznacza żądaną liczbę kul, które mają pozostać w wazonie, a numer wykonywanego kroku.

W każdym kroku:

do wazonu wkładane są kule o numerach od do , jeżeli , usuwana jest kula numer , jeżeli , usuwana jest kula numer .

W pierwszych krokach pozostają odpowiednio wybrane kule, natomiast od kroku wszystkie kule, które nie należą do wybranego zbioru, są ostatecznie usuwane. W rezultacie w południe pozostaje dokładnie kul.

Problem jest niedookreślony

Inna możliwość zakłada, że problem nie określa jednoznacznie stanu wazonu w południe. Stan wazonu jest dokładnie określony w każdej chwili przed południem. Nie wynika jednak z tego automatycznie, jaki powinien być jego stan dokładnie w południe. Można więc zauważyć, że opis problemu nie określa, co dzieje się w chwili granicznej. Teoretycznie wazon mógłby w południe zniknąć albo wydarzyć się cokolwiek innego, ponieważ problem nie zawiera żadnych informacji na ten temat.

Problem jest źle sformułowany

Jeszcze inne stanowisko głosi, że problem jest źle postawiony. Zgodnie z jego treścią nieskończenie wiele operacji ma zostać wykonanych przed południem, a następnie zadane zostaje pytanie o stan wazonu w południe. Można jednak argumentować, że jeżeli nieskończenie wiele operacji musi być wykonanych kolejno przed daną chwilą, to nigdy nie następuje moment, w którym wszystkie te operacje zostały już zakończone. Powstaje więc problem podobny do paradoksów Zenona: aby zapytać o stan wazonu po zakończeniu procesu, trzeba założyć, że nieskończona sekwencja czynności może zostać ukończona. Według tego stanowiska samo pojęcie „zakończenia” nieskończonego procesu jest problematyczne.

Przypisy

Kategoria:Paradoksy Kategoria:Paradoksy nieskończoności Kategoria:Logika matematyczna