mały|prawo|300px|Konstrukcja stycznej do krzywej
Prosta styczna do krzywej w punkcie to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty i gdy punkt dąży (zbliża się) do punktu po krzywej .
Definicje i wzory Niech punkt będzie rzutem punktu na oś i niech styczna przecina oś w punkcie zaś prosta będąca normalną do krzywej przecina oś w punkcie Odcinek skierowany nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany – podnormalną. Długość nazywa się długością stycznej, zaś – długością normalnej.
Jeśli krzywa określona jest w pewnym przedziale funkcją ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały gdzie oraz punkt zmienny gdzie ma postać:
zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ma postać:
Wówczas odcięte punktów i są odpowiednio równe: :
Długość stycznej określa wówczas wzór:
zaś długość normalnej:
Mamy również podstyczna: podnormalna:
W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.
Styczna do okręgu
W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.
Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu
mały|Odcinki AB i AC są równe
Niech punkty i będą punktami styczności do okręgu dwóch prostych przecinających się w punkcie Wówczas
Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.
Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.
Zobacz też
metoda stycznych wektor styczny do krzywej i powierzchni
Przypisy
Kategoria:Obiekty określone dla krzywych Kategoria:Geometria analityczna