thumb|300x300px|right|Ścieżki dwóch procesów Poissona o intensywnościach (niebieski) oraz (czerwony). W przedziale czasu zrealizowano odpowiednio 30 oraz 8 skoków, co odpowiada proporcji intensywności.
thumb|300x300px|right|Ścieżki dwóch skompensowanych złożonych procesów Poissona. Intensywność pierwszego wynosi i jest 4 razy większa od intensywności drugiego procesu. W przedziale czasu zarejestrowano 66 oraz 16 skoków (wartość oczekiwana dla pierwszego: 84). Skoki mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej 0,25. Składowa dryfu kompensuje przyrosty skokowe, zapewniając własność martyngału; większe intensywność implikuje silniejszy ujemny dryf.
Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa zdefiniowana w następujący sposób:
gdzie ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych , parametrem oznaczanym
Uwaga. Parametr nazywa się intensywnością procesu Poissona. Parametr ten określa on średnia liczbę zdarzeń losowych w jednostce czasu.
Zmienna losowa oznacza czas pomiędzy -szym a -tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), zaś to liczba zgłoszeń, które wystąpiły aż do chwili .
Równoważne definicje Definicja 1. Dany proces stochastyczny nazywamy procesem Poissona o intensywności wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są następujące warunki: , tj.: w chwili początkowej proces ma wartość zero; Proces ma przyrosty niezależne dla ; Realizacje procesu są niemalejącymi, prawostronnie ciągłymi funkcjami schodkowymi o skokach równych jeden; Dla dowolnego oraz przyrost ma rozkład Poissona o parametrze , tj.:
Definicja 2. Dany proces stochastyczny nazywamy procesem Poissona o natężeniu wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są następujące warunki: ; ma niezależne i stacjonarne przyrosty; ; .
Uwaga. Niezależność przyrostów oznacza, że liczby zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Tak więc, proces ten nie ma pamięci, tzn. wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w kolejnej chwili procesu.
Przykład (obciążenie centrali telefonicznej) Klasycznym zastosowaniem procesu Poissona jest modelowanie obciążenia central telefonicznych.
Załóżmy na przykład, że centrala obsługuje średnio 100 rozmów na godzinę. Parametr intensywności wynosi . Dla czasu godziny oczekiwana liczba zdarzeń wynosi .
a) Prawdopodobieństwo, że w ciągu pół godziny zostanie nawiązanych co najmniej 76 połączeń, wynosi:
Wartość tej sumy można wyznaczyć np. za pomocą krótkiego programu w języku Python wykorzystującego funkcję poisson.cdf, służącą do obliczania dystrybuanty rozkładu Poissona.
from scipy.stats import poisson print(1 - poisson.cdf(75, 50))
b) Prawdopodobieństwo, że zostanie nawiązanych więcej niż 50 połączeń, można wyznaczyć analogicznie:
Własności (1) Niech Wtedy ma rozkład Erlanga z parametrami
(2) Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.
Zobacz też teoria prawdopodobieństwa
Przypisy
Bibliografia
Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993. Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
Kategoria:Procesy stochastyczne