Przestrzeń antydyskretna – niepusta przestrzeń topologiczna wyposażona w topologię antydyskretną (nazywaną też topologią trywialną), tzn. zawierającą wyłącznie dwa podzbiory: zbiór pusty i całą przestrzeń Anti-discrete space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].:

Topologia trywialna zawiera najmniejszą możliwą liczbę zbiorów otwartych wymaganą przez definicję przestrzeni topologicznej. Jej przeciwieństwem jest topologia dyskretna, która zawiera wszystkie możliwe podzbiory przestrzeni .

Przestrzeń antydyskretną można wyobrażać sobie jako przestrzeń, w której wszystkie punkty zostały ze sobą „zlepione”, przez co niemożliwe jest ich wyróżnienie za pomocą środków topologicznych; jest to przestrzeń pseudometryczna, tj. taka, że odległość między dowolnymi dwoma jej punktami jest zerowa.

Własności Przestrzeń antydyskretna: zawierająca co najmniej dwa różne punkty nie jest przestrzenią T0, nie spełnia wtedy także wyższych aksjomatów T; w szczególności nie jest wtedy Hausdorffa (T2), co oznacza, że topologia na niej określona nie jest porządkowa, ani metryzowalna, jest regularna, całkowicie regularna, normalna i całkowicie normalna; wszystkie w sposób trywialny, ponieważ jedynymi domkniętymi zbiorami są zbiór pusty i cała przestrzeń, jest zwarta, jest zatem parazwarta, Lindelöfa i lokalnie zwarta. jest łukowo spójna, zatem spójna, spełnia drugi aksjomat przeliczalności, zatem spełnia także pierwszy, jest więc ośrodkowa oraz Lindelöfa, jest przestrzenią Baire'a.

Każde przekształcenie dowolnej przestrzeni topologicznej w przestrzeń antydyskretną jest ciągłe. Wszystkie podprzestrzenie oraz przestrzenie ilorazowe przestrzeni antydyskretnej mają topologię antydyskretną. Dowolny iloczyn kartezjański przestrzeni antydyskretnych, wyposażony tak w topologię produktową jak i przedziałową, jest przestrzenią antydyskretną.

Wnętrze dowolnego zbioru poza całą przestrzenią jest puste, domknięciem dowolnego niepustego zbioru przestrzeni jest cała przestrzeń; innymi słowy dowolny niepusty podzbiór przestrzeni jest gęsty – jest to własność charakteryzująca przestrzenie antydyskretne.

Dwie przestrzenie antydyskretne są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne.

Zobacz też przestrzeń dyskretna

Przypisy

Bibliografia

Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.

Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych