Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało w którym zachodzi
czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.
Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności: nie jest sumą kwadratów w ciało może być liniowo uporządkowane.
Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.
Ciało rzeczywiście domknięte to ciało spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków: jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w Istnieje porządek liniowy taki, że jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ma pierwiastek w Element nie jest kwadratem w a ciało jest algebraicznie domknięte.
Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że: Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym). Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek. Jeśli ciało algebraicznie domknięte jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała to ciało jest rzeczywiście domknięte i
Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta.
Linki zewnętrzne Real closed field , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].
Kategoria:Rodzaje ciał