mały|Otto Ludwig Hölder (1859–1937)
Nierówność Höldera – fundamentalna nierówność wiążąca przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).
Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni i jeśli oraz
Nierówność Höldera Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.
Jeżeli oraz to oraz
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje i są liniowo zależne.
Najważniejsze przypadki szczególne Gdy to nierówność Höldera znana jest pod nazwą nierówności Schwarza (lub Cauchy’ego-Schwarza, a w przypadku całkowym – Buniakowskiego-Schwarza).
W przestrzeni euklidesowej (lub ) nierówność Höldera przyjmuje postać:
Dla elementów
Niech będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
W szczególności, gdy jest miarą probabilistyczną (tj. jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci
gdzie symbol oznacza wartość oczekiwaną.
Uogólnienie Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:
Niech będą takie, że:
Załóżmy, że Wtedy oraz
Zobacz też warunek Höldera
Przypisy
Literatura
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-05-28]. Hölder inequality , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-05-28].
Kategoria:Analiza funkcjonalna H Kategoria:Twierdzenia o szeregach