Określoność formy – właściwość formy kwadratowej określonej na rzeczywistej przestrzeni liniowej Bądź ogólniej: przestrzeni liniowej nad ciałem uporządkowanym; w szczególności nie nad ciałem liczb zespolonych. Można rozpatrywać inne uogólnienia, np. formy hermitowskie określone na przestrzeniach liniowych nad liczbami zespolonymi i o wartościach rzeczywistych (czy w ciele uporządkowanym). Macierz takiej formy powinna być wtedy nie symetryczna a hermitowska.. Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku dla wszystkich punktów przestrzeni liniowej, to nazywa się ją określoną. Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku albo zeruje się dla niektórych punktów przestrzeni liniowej, to nazywa się ją półokreśloną. Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją nieokreśloną.

Rodzaje form określonych Spośród form określonych i półokreślonych wyróżnia się następujące typy:

jeżeli dla każdego jest – formę nazywa się dodatnio określoną (dodatnią), – formę nazywa się ujemnie określoną (ujemną), – formę nazywa się nieujemnie określoną (nieujemną; dodatnio półokreśloną), – formę nazywa się niedodatnio określoną (niedodatnią; ujemnie półokreśloną).

Uwaga: Znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy (patrz przykłady poniżej).

Macierze odpowiadające formom (1) Formie kwadratowej , która jest zapisana w postaci symetrycznej (patrz niżej), zdefiniowanej na przestrzeni -wymiarowej, można przypisać macierz w następujący sposób

gdzie jest dowolnym wektorem kolumnowym o współrzędnych takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; oznacza transpozycję; oznacza macierz symetryczną

Uwaga: Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

Przy takiej zamianie forma nie ulegnie zmianie, a tylko przegrupowane zostają jej wyrazy.

(2) Macierz jest diagonalna, gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych, ma wyrazy pozadiagonalne, gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

(3) Def. Macierze formy nazywa się macierzami określonymi / nieokreślonymi itd. jeżeli odpowiadają formom określonym / nieokreślonym itd.

Formy zdegenerowane/niezdegenerowane Def. 1. Formę nazywamy zdegenerowaną, jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości

Def. 2. Formę nazywamy niezdegenerowaną, jeżeli istnieje choć jedna wartość dla której forma jest różna od zera.

Tw. 1. Forma jest zdegenerowana, jeżeli wyznacznik macierzy formy jest równy zeru.

Formy dwuliniowe Tw. 2. Każdej formie kwadratowej odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

Def. 3. Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.

Tw. 3. Jeżeli forma kwadratowa jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej wzorem

to macierze tych form są równe.

Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.

Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.

Twierdzenia Sylwestra o dodatniej i ujemnej określoności macierzy Tw. 1 Forma kwadratowa o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych zapisana w postaci symetrycznej jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie minory główne wiodące jej macierzy, tj. obliczane po przekątnej od lewego rogu, są dodatnie.

Np. macierz

będzie dodatnio określona, jeżeli:

Tw. 2 Jeżeli minory te mają znaki naprzemiennie ujemne i dodatnie, zaczynając od minora ujemnego minora , to forma jest ujemnie określona.

Np. macierz będzie ujemnie określona, jeżeli

Powyższe twierdzenia stanowią treść kryterium Sylvestera. Należy zauważyć, że za pomocą tego kryterium nie da się jednak rozstrzygnąć o niedodatniej określoności formy ani o tym, czy jest nieokreślona, itd.

Jest jednak bardzo wygodne do sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona, np. stosując do Przykładów 1, 2 – poniżej widać natychmiast, że macierz jest określona dodatnio, a macierz – nie.

Za pomocą tego kryterium można też łatwo znaleźć warunki, ograniczające możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, s. 286).

Przykłady Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.

Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona

Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej jest

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma wzór

gdzie Widać stąd, że forma jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy Forma jest więc dodatnio określona, cnd.

Przykład 2. Macierz rzeczywista, symetryczna, określona niedodatnio

Dowód: Wykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ma postać

gdzie Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla gdzie Dlatego forma jest niedodatnio określona, cnd.

Przykład 3. Macierz rzeczywista, symetryczna, nieokreślona

Dowód: Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy odpowiada forma kwadratowa

gdzie Forma ta jest nieokreślona, gdyż przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.: jeśli to jeśli to jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich jest

Przykład 4. Macierz jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej – jest dodatnio określona.

(1) Macierz jednostkowa jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

(2) Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni zespolonej, to dla dowolnego wektora zespolonego mamy

Ponieważ wektor jest niezerowy, to albo musi być niezerowe, więc macierz jest dodatnio określona.

Twierdzenia (1) Wszystkie formy dodatnio/ujemnie określone na tej samej przestrzeni wymiaru są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy kwadratówFormy kwadratowe i określone odpowiednio na i nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm (liniowy) który spełniałby .

(2) Określoność formy nie zależy od wyboru współrzędnych (choć postać formy zależy od wyboru współrzędnych). Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

(3) Wynika stąd, że formy/macierze dodatnio określone są: nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych), a zatem odwracalne, ponadto forma/macierz odwrotna do danej też jest dodatnio określonaZgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia., suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określonaJeśli oraz są dodatnio określone, oraz dla to również jest dodatnio określona, ponieważ dla .

(4) Analogiczne twierdzenia są słuszne dla macierzy ujemnie określonych.

(5) Ponadto słuszne są twierdzenia: symetrycznaOgólniej: hermitowska, wtedy transpozycję we wzorze należy zastąpić sprzężeniem hermitowskim. macierz dodatnio określona ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna dla której (symetria i dodatnia określoność – to warunki konieczne i dostateczne), dla nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej iloczyny oraz są dodatnio określoneDla niezerowej macierzy kolumnowej zachodzi równe po współrzędnych skąd norma macierzowa (norma Frobeniusa indukowana ze standardowego iloczynu skalarnego macierzy) musi być nieujemna, ponieważ nieosobliwość/odwracalność macierzy jest równoważna (gdyż norma mogłaby się zerować, tylko gdy ). Podobnie równe po współrzędnych oznacza z tym samym uzasadnieniem końcowym., wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/macierz jednostkowaZe względu na równości , wszystkie wartości własne formy/macierzy zerowej są równe zeru, dlatego jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Zobacz też forma kwadratowa kryterium Sylvestera o określoności form kwadratowych twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych Zastosowania rozmaitość pseudoriemannowska rozmaitość riemannowska tensor metryczny

Uwagi

Bibliografia H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138. T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.

Linki zewnętrzne M. Góra, Formy kwadratowe - omówienie pełnego kryterium Sylvestera (w tym kryteria na macierze dodatnio i ujemnie określone oraz półokreślone dodatnio i ujemnie) wraz z przykładami obliczeń [dostęp od 2025.12.13].

Kategoria:Formy kwadratowe Kategoria:Macierze kwadratowe