Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Aby ocenić, czy dany ciąg funkcyjny zbiega do danej funkcji granicznej , mierzy się wielkości zbioru punktów dziedziny ciągu funkcyjnego, dla których ciąg funkcyjny nie zbiega do funkcji granicznej, przy czym: a). jeżeli zbiór ten ma miarą zerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny jest zbieżny do funkcji granicznej (sytuacja taka może zachodzić np. dla funkcji, które są rozbieżne jedynie w punktach izolowanych) b). gdy zaś zbiór ten ma miarę niezerową, to uznaje się, że ciąg funkcyjny nie jest zbieżny do funkcji granicznej (zbieżność jest niewystarczająca). W pomiarze istotne jest przyjęcie konkretnej miary, zależnie od rozpatrywanego zagadnienia.
Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.
Definicja Zbieżność według miary Niech będzie przestrzenią z miarą określoną na podzbiorach zbioru (tj. zakłada się, że podzbiory te należą do tzw. σ-ciała zbioru , co gwarantuje spójne przyporządkowanie miary tym podzbiorom, np. długości, pola powierzchni, objętości, prawdopodobieństwa, itd.).
Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych jest zbieżny według miary do funkcji gdy:
tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy zerowa jest miara zbioru tych punktów dziedziny ciągu funkcyjnego, dla których . Oznacza to, że jedynie w izolowanych punktach granica ciągu funkcji może nie być zgodna z funkcją graniczną (np. gdy istnieją punkty, gdzie funkcje ciągu mają nieciągłości lub w których są rozbieżne do nieskończoności)
W teorii prawdopodobieństwa Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.
Przypadek jednowymiarowy Niech będą zmiennymi losowymi.
Ciąg zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej jeżeli
tj.: zbieżność ta zachodzi, gdy w granicy jednością jest miara zbioru tych punktów dziedziny ciągu zmiennych losowych, dla których . Oznacza to, że jedynie w punktach izolowanych granica ciągu zmiennych losowych nie jest zgodna ze zmienną graniczną .
Ciąg zmiennych losowych nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej jeżeli
Przypadek wielowymiarowy Niech będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora jeżeli
gdzie oznacza normę euklidesową w
Uwagi Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie. Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych do stałej oznacza, że przy gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu Zdanie: „ciąg jest zbieżny według miary do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
Twierdzenia o zbieżności według miary Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji). Każdy ciąg zbieżny według miary spełnia warunek Cauchy’ego według miary. Twierdzenie Riesza.
Zobacz też prawo wielkich liczb twierdzenie Jegorowa twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej Warunek Cauchy’ego według miary zbieżność według rozkładu
Bibliografia
Kategoria:Ciągi funkcyjne Kategoria:Granice Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Teoria miary