Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.
Definicja Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu danego wzorem
Dla grupy symetrycznej rzędu mówimy również o grupie alternującej stopnia . Grupę taką oznacza się symbolami lub
Przykłady i własności Grupą alternującą stopnia 4 jest
w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe. Dla grupa jest podgrupą normalną grupy symetrycznej o elementach. Grupa jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy lub . (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą. Podgrupa alternująca jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej
Zobacz też grupa symetryczna podgrupa normalna silnia
Przypisy
Bibliografia Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, , s. 43.
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-22]. Alternating group , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
A