Warstwa – podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupęIntuicyjnie warstwa to egzemplarz danej podgrupy „przesunięty” w grupie: razem „wypełniają” całą grupę..
Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupyPoglądowo indeks to „rozmiar” grupy względem jej ustalonej podgrupy: liczba egzemplarzy danej podgrupy, które „wypełnią” grupę.; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. Definicja i Własności). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną.
Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. Normalność).
Motywacja
thumb|Graf przedstawia funkcję, która wprowadza podział w zbiorze mianowicie dzieli ona dziedzinę na dwa zbiory oraz będące włóknami odpowiednio nad elementami tworzącymi obraz zbioru który można utożsamiać z rzutem kanonicznym wprowadzanej relacji równoważności. Uwaga: włókna mogą mieć dowolną, niezerową liczbę elementów; analogiczna konstrukcja dla grup wymusza, by włókna (warstwy) były równoliczne. Podział zbioru można przeprowadzić, określając na nim relację równoważności która podzieli go na rozłączne, niepuste i sumujące się do klasy o wskazanej przez własności. Każdą relację na można z kolei wprowadzić za pomocą pewnej funkcji dwa elementy pozostają ze sobą w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy w funkcji są równe,
mówi się też wtedy, że należą do jądra funkcji
Innymi słowy utożsamiane są te elementy dziedziny, które w obrazie przekształcane są na ten sam element zbiór tych elementów dziedziny, czyli nazywa się włóknem bądź poziomicą albo warstwicą nad Obraz można z kolei utożsamiać ze zbiorem klas równoważności czyli funkcja wyznacza i jest wyznaczana przez odwzorowanie ilorazowe
Powyższe obserwacje można zastosować do homomorfizmu grup którego kluczową cechą jest to, że przekształca on nie tylko zbiór w ale całą grupę w grupę czyli oprócz ich nośników przenosi (w takim zakresie, w jakim jest to możliwe) również działanie grupowe do W tym przypadku jądro jest podgrupą w Z własności homomorfizmów dla dowolnych skoro to czyli tj. Oznacza to, że wraz z dowolnymi również (oraz ) – zob. charakteryzacja podgrupy.. Otrzymuje się wtedy relację równoważności (podział) w której charakterystyczną własnością jest to, iż jest jedną z jej klas równoważności; w ogólności są one postaci dla Otóż niech tzn. wówczas czyli tj. skąd co oznacza, że element równoważny do należy do zbioru Odwrotnie, dowolny element zbioru jest równoważny z ponieważ wtedy gdyż oznacza, że Przechodząc w poprzednim dowodzie od do uzyskuje się, że klasy równoważności elementu można również zapisać w postaci dla Sytuacja ta jest typowa dla podgrup będących jądrami homomorfizmów; dla podgrup nie mogącymi być jądrami homomorfizmów istnieją dla których por. dalsza część artykułu., a ponadto są równoliczne (zob. Własności, por. rysunek obok). Bezpośrednio stąd wynika, tak jak w opisanym wyżej przypadku teoriomnogościowym, że elementy odpowiadają wprost warstwom A także co wskazano wyżej., tzn. obraz można utożsamiać ze zbiorem warstw grupy względem Nieco uogólniona, obserwacja ta znana jest jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie..
Podział grupy na warstwy względem podgrupy jest więc pojęciem węższym, a przede wszystkim algebraicznie bardziej użytecznym, od dowolnego podziału (zbioru elementów) grupy – tego rodzaju konstrukcję nazywa się kongruencją (przystawaniem). W ogólności przyjmuje się, że może być dowolną podgrupą w co sprawia, że wyznacza ona dwie, potencjalnie różne relacje równoważności; podgrupa wyznacza jeden podział wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem homomorfizmuTożsamość pojęć „podział ↔ relacja równoważności” jest prawdziwa na gruncie teorii mnogości; jednakże równoważność „relacja równoważności ↔ jądro homomorfizmu” oprócz teorii grup zachodzi tylko w teorii pierścieni; dla części struktur algebraicznych prawdziwa jest zależność „relacja równoważności → jądro homomorfizmu” (np. dla półgrup z jedynką), w ogólności pojęcia te nie muszą wykazywać żadnego związku „relacja równoważności – jądro homomorfizmu” (czyniąc pojęcie jądra nieużytecznym). – do tego zaś potrzeba, a zarazem wystarcza, by była ona normalna (zob. osobna sekcja).
Definicja
Niech będzie dowolną grupą, jej dowolną podgrupą. Podzbiory grupy dane jako
dla nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną grupy względem wyznaczonymi przez element jeżeli są one równe, tzn. to mówi się wtedy po prostu o warstwach (obustronnych).
Moc zbioru oznaczanego też wszystkich warstw lewostronnych nazywa się indeksem podgrupy względem grupy i oznacza jednym z symboli lub ; tak samo oznacza się i nazywa moc zbioru (nie mylić z różnicą zbiorów ) wszystkich warstw prawostronnych, gdyż liczby te są równe (zob. dalej). Spotyka się również odwrócone oznaczenie zbioru warstw prawostronnych, mianowicie (bywa ono stosowane jako element notacji warstw podwójnych); jest ono o tyle „bezpieczniejsze”, iż zawsze Jeżeli jest podgrupą normalną, to (zob. Normalność) i wtedy zbiór warstwA także określoną na nim grupę ilorazową. oznacza się zwykle wyłącznie za pomocą pierwszego z przytoczonych symboli, tj. jak zbiór warstw lewostronnychW przypadku grup w notacji addytywnej (zwykle przemiennych) właściwe jest mówienie o „grupach różnicowych” wraz z oznaczeniem (por. Scott, 2012); w polskiej tradycji matematycznej oznaczenia te są w gruncie rzeczy niespotykane..
Własności Jeżeli oznacza element neutralny w to warstwa lewostronna równa jest podgrupie a ta jest równa warstwie prawostronnej Wprost z definicji warstwy lewostronnej i podobnie dla warstwy prawostronnej. (warstwa ta jest jedyną wśród nich podgrupą, gdyż tylko ona zawiera element neutralny); równości oraz zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy Jeśli to czyli Odwrotnie: jeżeli to również zatem oraz dla wszystkich (gdyż jako podgrupa jest zamknięta ze względu na mnożenie), czyli dla dowolnego zatem oraz a więc Podobnie dla warstw prawostronnych.. Równość warstw lewostronnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego Jeśli to czyli dla pewnego odwrotnie: jeśli to zatem oraz dla wszystkich (z zamkniętości na mnożenie), skąd oraz czyli , co wprost z definicji warstwy jest równoważne warunkowi bądź Z pierwszego warunku równości wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego które można wtedy zapisać jako , który można również zastąpić równością Z poprzedniego warunku wtedy i tylko wtedy, gdy co jest równoważne na mocy poprzedniego stwierdzenia.; podobnie dla warstw prawostronnychAnalogicznie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego co można zastąpić warunkiem który jest równoważny bądź .
Grupa jest sumą parami rozłącznych warstw lewostronnychSkoro dla każdego to ponadto dla dowolnego jest zatem a więc stąd Warstwy lewostronne względem są parami rozłączne, gdyż w przeciwnym przypadku dla pewnych byłoby czyli istniałby element należący do obu tych warstw: oraz co z charakteryzacji równości warstw oznaczałoby, iż oraz czyli Stąd nierozłączne warstwy są równe. i podobnie dla warstw prawostronnych; innymi słowy warstwy lewo- i prawostronne względem wprowadzają odpowiednio podziały oraz w zbiorze elementów grupy (które nie muszą być identyczne, zob. kolejną sekcję i Przykłady). Ze wzajemnej odpowiedniości podziałów i relacji równoważności wynika, że wspomniane podziały można uzyskać za pomocą relacji równoważności bądź utożsamiających elementy z jednej warstwy lewo- bądź prawostronnej, tzn. albo (por. wzór Motywacja); opierając się na powyższych własnościach równości warstw, relacje te definiuje się zwykle za pomocą równoważnych wzorówTak określona relacja (jak i ) istotnie jest równoważnością. Zwrotność: dla dowolnego zachodzi skąd Symetryczność: jeżeli tj. skąd czyli tzn. Przechodniość: jeżeli oraz tj. oraz to również skąd tzn. W istocie zwrotność, symetryczność i przechodniość wynikają z faktu, iż jest podgrupą: kolejno z oraz zamkniętości ze względu na branie odwrotności i mnożenie.
przy czym klasy równoważności mają postać warstw lewostronych a klasy równoważności są warstwami prawostronnymi Wprost z określenia relacji równoważności prawdziwe są równoważności dla z obserwacji tej i definicji warstwy lewostronnej wynika wtedy, że Dowód dla warstw prawostronnych jest analogiczny.. Wynika stąd, że zbiory ilorazowe oraz odpowiadają odpowiednio podziałom oraz własności warstw można więc wywnioskować z własności klas równoważności: w szczególności dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem są rozłączne, każdy element grupy należy do jednej i tylko jednej z nich, a ponadto żadna z nich nie jest pusta (zawiera przynajmniej jeden element)Dla ustalonych elementu oraz (niepustej; zob. grupa trywialna) podgrupy warstwa powstaje w wyniku dobrze określonego (wprost z definicji grupy) mnożenia oraz dowolnego elementu które dla dowolnych dwóch elementów grupy daje element tej grupy, skąd musi zawierać co najmniej jeden element. Analogicznie dla warstw prawostronnych..
Sztywność struktury grupy gwarantuje więcej: warstwy lewostronne są równoliczne, podobnie ma się rzecz z warstwami prawostronnymiWzajemnie jednoznaczną odpowiedniość ustalają mnożenia lewo- i prawostronne elementów przez elementy mianowicie funkcje dana wzorem oraz określona wzorem dla dowolnego Iniektywność: jeżeli bądź to suriektywność: zbiory oraz składają się ze wszystkich elementów postaci odpowiednio lub (są to w istocie odwzorowania ilorazowe).. Podgrupa jest równocześnie warstwą lewo- i prawostronną – dlatego równoliczne są wszystkie warstwy ( oraz dla dowolnego ) grupy względem w szczególności jeżeli rząd jest skończony, to dla każdego Wzór ten jest prawdziwy, jeśli przyjąć, że gdy warstwa nie jest zbiorem skończonym, to . Sytuacja ta jest warta podkreślenia, gdyż klasy abstrakcji dowolnych relacji równoważności określonych na zbiorach, np. elementów grupy, nie muszą być równoliczne (zob. rysunek w sekcji Motywacja). Równoliczne są również same podziały oraz złożone odpowiednio z warstw lewo- i prawostronnychOdpowiedniość jest źle określona (zob. podgrupę w Przykładach, dla której żadne z warstw lewo- i prawostronnych, poza nie są równe); odpowiednią bijekcją jest Odwzorowanie to jest dobrze określone, ponieważ pociąga istotnie: oznacza skąd też a więc czyli Ponadto jest ono różnowartościowe (wystarczy odwrócić wynikanie w poprzednim rozumowaniu) oraz „na” ze względu na to, że dowolna warstwa prawostronna jest obrazem warstwy lewostronnej w przekształceniu mianowicie , a ich wspólna moc nazywana jest indeksem w Wprost stąd wynika, że na skończony rząd składa się rząd pojedynczej warstwy grupy względem podgrupy pomnożony przez ich liczbę, tzn. zachodzi wzórJeżeli lub nie są skończone, to można przyjąć, iż bądź wtedy wzór mówi o tym, że nieskończoność rzędu pociąga i jest pociągana przez nieskończoność rzędu
(przy oznaczeniach z sekcji Motywacja jest Por. z twierdzeniem o rzędzie dla przekształcenia liniowego między przestrzeniami liniowymi.). Powyższy wynik, wyrażony zwykle w postaci: rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, nazywa się zwykle twierdzeniem Lagrange’a, choć niekiedy nazwę tę nosi nieprecyzyjnie bezpośredni z niego wniosek: rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupyWystarczy rozważyć podgrupę (cykliczną) generowaną przez element rzędu (zob. rząd elementu i grupy).