Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.
Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kulKarol Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, „Fundamenta Mathematicae”, 20 (1933), s. 177–190.: Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?
(Borsuk pyta o zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, nie wystarczy).
W roku 1945 Hugo Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S. Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a C. A. Rogers, w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego.
Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla uzyskał polski matematyk Julian Perkal w 1947Julian Perkal, Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur, Colloq. Math. 2 (1947), s. 45. i Anglik H.G. Eggelston w 1955H.G. Eggleston, Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter, J. Lond. Math. Soc. 30 (1955), s. 11–24.. Prostsze rozwiązania dla podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra Branko Grünbaum i Węgier Aladár Heppes. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:
a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:
nie zostało potwierdzone.
J. Kahn i G. KalaiJ. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture, „Bulletin of the American Mathematical Society” 29 (1993), s. 60–62. pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla oraz dla wszystkich Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla .
Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla , zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64.
Przypisy
Linki zewnętrzne Borsuk problem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Geometria euklidesowa Kategoria:Historia matematyki Kategoria:Problemy geometryczne