ramka|Trójkąt z zaznaczonymi środkowymi (czarne linie), dwusiecznymi (przerywane) i symedianami (czerwone).
Symediana – prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta względem dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie (zwanym punktem Lemoine’a), jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.
Właściwości mały|250px|tło
Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe): półprosta jest symedianą w trójkącie
styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach i (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty i (niebieska) są współpękowe.
Twierdzenie o symedianie Jeżeli w przez oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu z bokiem to zachodzi równość:
Dowód Niech będzie środkiem boku Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:
zatem
Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to oraz
więc
Z twierdzenia sinusów mamy też, że
więc
więc stąd
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-10-30].
Kategoria:Obiekty określone dla trójkąta