Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.
Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy
o wyrazach dodatnich oraz niech
Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg jest zbieżny.
Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna kryterium Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy
Istotnie, rozważmy ciągi
Wówczas
Jednak szereg jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski).
Dowód Załóżmy, że dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
Stąd
dla każdego Oznacza to, że dla każdego spełniona jest nierówność
Szereg
jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie Ponadto, majoryzuje on szereg
Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zatem zbieżny.
W przypadku gdy istnieje taka liczba że nierówność
zachodzi dla wszystkich szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg jest rozbieżny.
Przykłady zastosowania Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny szeregu zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład
Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci
Mamy
Zatem korzystając z granicy
otrzymujemy
co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.
Niech
Wówczas
Oznacza to, że szereg
jest rozbieżny.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Piotr Stachura, Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów, kanał Khan Academy na YouTube, 19 lipca 2016 [dostęp 2024-06-22]. [dostęp 2022-06-20]. D'Alembert criterion (convergence of series) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].
d’Alemberta