Zdarzenie losowe – mierzalny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy – zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na
Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na są np.: – zdarzenie, że wypadło sześć oczek, – zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, – zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe, pod warunkiem, że każdy z wyników rzutu kostka jest jednakowo prawdopodobny (co zachodzi dla kostki idealnie symetrycznej). Zauważmy, że
Definicja ogólna Niech będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory należące do σ-ciała utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych Samo σ-ciało nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.
Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.
Powyższa definicja stosuje się zarówno, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym, jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)
Podstawowe pojęcia 1) Zdarzenie elementarne – pojedynczy wynik eksperymentu losowego.
Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.
b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na pierwszej kostce, a druga – liczbę oczek uzyskaną na drugiej kostce.
2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.
Np. dla rzutu 1 kostką mamy gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.
3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu – zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne
4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia – zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru
Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek jest zdarzenie że wypadła parzysta liczba oczek, tj.
Dowolność wyboru σ-ciała Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.
Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np. – σ-ciało nazywamy zdegenerowanym,, gdyż zawiera tylko zdarzenie niemożliwe oraz zdarzenie pewne – σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia oraz – σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów tzn. dowolny podzbiór zbioru należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).
Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.
Zobacz też Typy zdarzeń losowych: zdarzenie losowe niemożliwe zdarzenia losowe niezależne zdarzenie losowe pewne zdarzenie losowe przeciwne zdarzenia losowe rozłączne
Paradoksy teorii prawdopodobieństwa: paradoks Bertranda paradoks Monty’ego Halla
Bibliografia
W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.