Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone’a.
Twierdzenie
Definicja oraz przestrzeni Stone’a dla algebry Heytinga Niech będzie algebrą Heytinga z uniwersum Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie dane wzorem
jest izomorfizmem krat.
W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ
Niech teraz będzie najmniejszą topologią na w której wartościami odwzorowania są zbiory otwarte. Okazuje się, że jest bazą tej przestrzeni.
Topologię tę nazywamy topologią Stone’a. Przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone’a algebry
jest homomorfizmem algebr Heytinga i algebry topologicznej Należy jeszcze pokazać, że zachowuje działanie czyli że
Skoro jest izomorfizmem krat, to skąd
Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech Wówczas, skoro jest bazą topologii Stone’a, istnieje dla którego skąd czyli
Ponieważ jest izomorfizmem, znaczy to, że czyli, że a stąd co było do pokazania.
Wymiar i topologia przestrzeni Stone’a Załóżmy teraz, że jest wzbogaceniem algebry Boole’a.
Wówczas: Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem. Jeśli to dla
Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone’a jest zerowymiarowa, bo jej baza składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że
Jeśli teraz są różne, to istnieją i Wówczas też jednak i skąd i Oczywiście oraz zaś zbiory i są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone’a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.
Zwartość przestrzeni Stone’a Załóżmy teraz, że dla pewnej rodziny elementów algebry Niech dalej, dla funkcja będzie funkcją charakterystyczną zbioru Wówczas gdzie jest dwuelementową algebrą Boole’a, oraz
gdzie jest funkcją rzutu na -tą współrzędną potęgi przestrzeni dyskretnej Tym samym, warunek równoważny jest warunkowi
Ponieważ produkt zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a jest domknięty w zaś zbiory są otwarte w topologii indukowanej na istnieje skończone dla którego co oznacza, że
Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone’a algebry Boole’a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.
Wniosek Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.
Uwaga Zgodność odwzorowania Stone’a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków:
Kategoria:Twierdzenia o kratach